Herleitung: Adam-Bashforth m=2 < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Herleitung des Adam-Bashforth-Verfahrens m=2 mit den Lagrange-Grundpolynomen |
Hallo Zusammen!
Ich habe mir folgende Zusammenfassung erstellt um die Adam-Bashforth-Verfahren herzuleiten.
[mm] y_{k+m}=y_{k+m-1}+h\sum_{j=0}^{m-1} \beta_jf_{k+j}
[/mm]
mit
[mm] \beta_j=\int_{m-1}^m L_j(x) [/mm] ds
und
[mm] L_j(x)=\prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{m-1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}}
[/mm]
Herleitung f"ur m=2:
1.) Iterationsvorschrift:
[mm] y_{k+2}&=y_{k+1}+\sum_{j=0}^{1} \beta_jf_{k+j}\\
[/mm]
[mm] &=y_{k+1}+\beta_0f_{k}+\beta_1f_{k+1}\\
[/mm]
[mm] &=y_{k+1}+ \int_{m-1}^m L_0(x) ds\cdot f_{k}+\int_{m-1}^m L_1(x) ds\cdot f_{k+1}\\
[/mm]
2.) Bestimmung von [mm] \beta
[/mm]
[mm] \beta_0&=\int_{1}^2 L_0(x) dx\\
[/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\
[/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k+1}}{\textcolor{green}{x_{k}}-x_{k+1}} ds\\
[/mm]
Setze [mm] s=\textcolor{green}{x_k}+h\cdot &\xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\
[/mm]
Weiter gilt: [mm] x_k-&x_{k+1}=-h\\
[/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{x_k+h\xi-x_{k+1}}{-h} h\cdot d\xi\\
[/mm]
[mm] &=h\cdot \int_{1}^2 \frac{-h+h\xi}{-h} d\xi\\
[/mm]
[mm] &=h\cdot \int_{1}^2 1-\xi d\xi\\
[/mm]
[mm] &=h\left[\xi- \frac{1}{2}\xi^2\right]^2_1=h\cdot(2-2-1+0,5)=-0,5h
[/mm]
[mm] \beta_1&=\int_{1}^2 L_1(x) dx\\
[/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\
[/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k}}{\textcolor{green}{x_{k+1}}-x_{k}} ds\\
[/mm]
Setze [mm] s=\textcolor{green}{x_{k+1}}&+h\cdot \xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\
[/mm]
Weiter gilt: [mm] &x_{k+1}-x_{k}=h\\
[/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{x_{k+1}+h\xi-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} h\cdot d\xi\\
[/mm]
[mm] &=h\cdot \int_{1}^2 \frac{h+h\xi}{h} d\xi=h\int_{1}^2 1+\xi d\xi\\
[/mm]
[mm] &=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h
[/mm]
Eigentlich sollte für [mm] \beta_1 =\frac{3h}{2} [/mm] rauskommen.
Kann mir jemand helfen?
a.) Sind meine obigen Definitionen überhaupt richtig?
b.) Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?
Vielen vielen Dank schon im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Do 07.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Herleitung des Adam-Bashforth-Verfahrens m=2 mit den
> Lagrange-Grundpolynomen
> Hallo Zusammen!
> Ich habe mir folgende Zusammenfassung erstellt um die
> Adam-Bashforth-Verfahren herzuleiten.
>
> [mm]y_{k+m}=y_{k+m-1}+h\sum_{j=0}^{m-1} \beta_jf_{k+j}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\beta_j=\int_{m-1}^m L_j(x)[/mm] ds
>
> und
>
> [mm]L_j(x)=\prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{m-1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}}[/mm]
>
>
> Herleitung f"ur m=2:
> 1.) Iterationsvorschrift:
>
> [mm]y_{k+2}&=y_{k+1}+\sum_{j=0}^{1} \beta_jf_{k+j}\\[/mm]
>
> [mm]&=y_{k+1}+\beta_0f_{k}+\beta_1f_{k+1}\\[/mm]
> [mm]&=y_{k+1}+ \int_{m-1}^m L_0(x) ds\cdot f_{k}+\int_{m-1}^m L_1(x) ds\cdot f_{k+1}\\[/mm]
>
> 2.) Bestimmung von [mm]\beta[/mm]
>
> [mm]\beta_0&=\int_{1}^2 L_0(x) dx\\[/mm]
> [mm]&=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\[/mm]
>
> [mm]&=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k+1}}{\textcolor{green}{x_{k}}-x_{k+1}} ds\\[/mm]
>
> Setze [mm]s=\textcolor{green}{x_k}+h\cdot &\xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\[/mm]
>
> Weiter gilt: [mm]x_k-&x_{k+1}=-h\\[/mm]
> [mm]&=\int_{1}^2 \frac{x_k+h\xi-x_{k+1}}{-h} h\cdot d\xi\\[/mm]
>
> [mm]&=h\cdot \int_{1}^2 \frac{-h+h\xi}{-h} d\xi\\[/mm]
> [mm]&=h\cdot \int_{1}^2 1-\xi d\xi\\[/mm]
>
> [mm]&=h\left[\xi- \frac{1}{2}\xi^2\right]^2_1=h\cdot(2-2-1+0,5)=-0,5h[/mm]
>
>
> [mm]\beta_1&=\int_{1}^2 L_1(x) dx\\[/mm]
> [mm]&=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\[/mm]
>
> [mm]&=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k}}{\textcolor{green}{x_{k+1}}-x_{k}} ds\\[/mm]
>
> Setze [mm]s=\textcolor{green}{x_{k+1}}&+h\cdot \xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\[/mm]
>
> Weiter gilt: [mm]&x_{k+1}-x_{k}=h\\[/mm]
> [mm]&=\int_{1}^2 \frac{x_{k+1}+h\xi-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} h\cdot d\xi\\[/mm]
>
> [mm]&=h\cdot \int_{1}^2 \frac{h+h\xi}{h} d\xi=h\int_{1}^2 1+\xi d\xi\\[/mm]
>
> [mm]&=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h[/mm]
Steckt der Fehler nicht hier?
[mm]h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=h(2+1-(1+\frac{1}{2}))=h*(2+1-1-\frac{1}{2})=\frac{3h}{2}[/mm]
>
> Eigentlich sollte für [mm]\beta_1 =\frac{3h}{2}[/mm] rauskommen.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> a.) Sind meine obigen Definitionen überhaupt richtig?
> b.) Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?
>
>
> Vielen vielen Dank schon im Voraus!
Gruß
meili
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Hallo meili!
> > [mm]&=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h[/mm]
> Steckt
> der Fehler nicht hier?
>
> [mm]h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=h(2+\textcolor{red}{1}-(1+\frac{1}{2}))=h*(2+1-1-\frac{1}{2})=\frac{3h}{2}[/mm]
>
> >
Meines Erachtens nicht, denn du hast bei dem rot markierten glaube ich das Quadrat vergessen... denn [mm] \frac{1}{2}\cdot 2^2=2$
[/mm]
...oder ich bin jetzt vollkommen neben der Kappe.
Hast du sonst noch eine Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 08.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo meili!
> > > [mm]&=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h[/mm]
> >
> Steckt
> > der Fehler nicht hier?
> >
> > [mm]h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=h(2+\textcolor{red}{1}-(1+\frac{1}{2}))=h*(2+1-1-\frac{1}{2})=\frac{3h}{2}[/mm]
>
> >
> > >
> Meines Erachtens nicht, denn du hast bei dem rot markierten
> glaube ich das Quadrat vergessen... denn [mm]\frac{1}{2}\cdot 2^2=2$[/mm]
>
> ...oder ich bin jetzt vollkommen neben der Kappe.
> Hast du sonst noch eine Idee?
>
Ja, Du hast recht. Ich habe da einen Murks zusammen gekürzt.
Der Fehler muss wohl wo anderst liegen.
Gruß
meili
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