Herleitung Additionstheorem < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allerseits!
Kennt jemand eine Herleitung für das Additionstheorem: [mm] cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*cos(\beta)-sin(\alpha)*sin(\beta)
[/mm]
Für die Additionstheoreme mit sin kenne ich schon eine Herleitung über eine Flächenformel.Aber zu diesem mit cos hab ich nichts gefunden...Bin um jede Hilfe dankbar(auch Links etc.).
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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> Hallo allerseits!
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> Kennt jemand eine Herleitung für das Additionstheorem:
> [mm]cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*cos(\beta)-sin(\alpha)*sin(\beta)[/mm]
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> Für die Additionstheoreme mit sin kenne ich schon eine
> Herleitung über eine Flächenformel.Aber zu diesem mit cos
> hab ich nichts gefunden...Bin um jede Hilfe dankbar(auch
> Links etc.).
Also wenn Du das Additionstheorem [mm] $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$ [/mm] schon herleiten kannst, dann ist es am einfachsten, wenn Du den Beweis des Additionstheorems für den [mm] $\cos$ [/mm] rein algebraisch führst:
[mm]\begin{array}{lcll}
\cos(\alpha+\beta) &=& \sin(\pi/2-(\alpha+\beta))\\
&=&\sin((\pi/2-\alpha)+(-\beta)\\
&=& \sin(\pi/2-\alpha)\cdot\cos(-\beta)+\cos(\pi/2-\alpha)\cdot \sin(-\beta)\\
&=& \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
\end{array}[/mm]
Für die direkte Herleitung beider Additionstheoreme für spitze Winkel habe ich Dir folgende Skizze: vielleicht kannst Du dies ohne genauere Anleitung verstehen? - Sonst einfach zurückfragen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 26.07.2008 | | Autor: | weduwe |
am einfachsten sieht/ zeigt man das am einheitskreis
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 11.08.2008 | | Autor: | pagnucco |
hallo zusammen,
könnte mir vielleicht jemand ein paar Zeilen zum Elementargeometrischen beweis von "weduwe" texten? Hab ihn nämlich überhaupt nicht verstanden.
vielen Dank
lg pagnucco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Di 12.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Seiten der Laenge cos/alpha, sin/alpha usw findest du ja wohl noch. sie sind hypothenusen in den dreiecken mit den Produkten als katheten. das sollte als Hinweis zu der guten Zeichnung reichen1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Do 14.08.2008 | | Autor: | pagnucco |
Ok, verstanden  ,
allerdings frage ich mich wie so eine Skizze im 3. oder 4. Quadranten aussieht. Habe versucht mir das zu zeichnen und über die selbe Beweisführung herzuleiten, nur irgentwie fehlt mir der Durchblick, speziell bei Winkeln über 90°. Es wäre echt super nett wenn jemand vielleicht ein Skizze (z.B. im 2. oder 3. Quadranten) mit den nötigen Bezeichnungen parat hätte und sie posten könnte, damit ich mir den Rest herleiten könnte.
lg pagnucco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Do 14.08.2008 | | Autor: | weduwe |
zu befehl
[mm] cos\epsilon=cos(\pi-(\alpha+\beta))=sin\alpha\cdot sin\beta-cos\alpha\cdot cos\beta
[/mm]
und [mm] cos(\pi-\gamma)=-cos\gamma
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo allerseits!
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> Kennt jemand eine Herleitung für das Additionstheorem:
> [mm]cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*cos(\beta)-sin(\alpha)*sin(\beta)[/mm]
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> Für die Additionstheoreme mit sin kenne ich schon eine
> Herleitung über eine Flächenformel.Aber zu diesem mit cos
> hab ich nichts gefunden...Bin um jede Hilfe dankbar(auch
> Links etc.).
Der einfachste Weg, die Additionstheoreme für [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] auf einen Schlag zu beweisen, führt natürlich über [mm] $\IC$:
[/mm]
[mm]e^{\mathrm{i}(\alpha+\beta)}=e^{\mathrm{i}\alpha}\cdot e^{\mathrm{i}\beta}[/mm]
also, mit [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] geschrieben:
[mm]\cos(\alpha+\beta)+\mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)= \big(\cos(\alpha)+\mathrm{i}\cdot\sin(\alpha)\big)\cdot\big(\cos(\beta)+\mathrm{i}\cdot\sin(\beta)\big)[/mm]
Dann multipliziert man die rechte Seite dieser Gleichung aus und vergleicht deren Real- bzw. Imaginärteil mit dem Real- bzw. Imaginärteil der linken Seite.
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Vielen Dank an euch beide! ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
Die Herleitung anhand des Einheitskreises kannte ich, trotzdem vielen Dank für die Mühe mit den Skizzen. Deine Herleitung auf algebraischen Weg vom Sinus-Additionstheorem hat mir sehr weitergeholfen.Die komlexe Herleitung benötigt wiederum Kenntnisse und Herleitung der eulerschen Identität, was wir in der Schule noch nicht gemacht haben.
Ich habe dieses nämlich auf einen ganz anderem Weg hergeleitet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nach einer Flächenformel gilt:
[mm] A=\bruch{1}{2}*d*b*sin(\alpha+\beta)
[/mm]
Für die einzelnen Flächen:
[mm] A=\bruch{1}{2}*d*c*sin(\beta)+\bruch{1}{2}*c*b*sin(\alpha)
[/mm]
Gleichsetzten:
[mm] \bruch{1}{2}*d*b*sin(\alpha+\beta)=\bruch{1}{2}*d*c*sin(\beta)+\bruch{1}{2}*c*b*sin(\alpha)
[/mm]
Dividieren durch: [mm] \bruch{1}{2}*d*b
[/mm]
[mm] sin(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*sin(\beta)+cos(\beta)*sin(\alpha)
[/mm]
So kann ich jetzt ja alle anderen Additionstheoreme herleiten....
Gruß
Angelika
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 27.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank an euch beide!
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> Die Herleitung anhand des Einheitskreises kannte ich,
> trotzdem vielen Dank für die Mühe mit den Skizzen. Deine
> Herleitung auf algebraischen Weg vom Sinus-Additionstheorem
> hat mir sehr weitergeholfen.Die komlexe Herleitung benötigt
> wiederum Kenntnisse und Herleitung der eulerschen
> Identität, was wir in der Schule noch nicht gemacht haben.
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> Ich habe dieses nämlich auf einen ganz anderem Weg
> hergeleitet:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Nach einer Flächenformel gilt:
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> [mm]A=\bruch{1}{2}*d*b*sin(\alpha+\beta)[/mm]
>
> Für die einzelnen Flächen:
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}*d*c*sin(\beta)+\bruch{1}{2}*c*b*sin(\alpha)[/mm]
>
> Gleichsetzten:
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> [mm]\bruch{1}{2}*d*b*sin(\alpha+\beta)=\bruch{1}{2}*d*c*sin(\beta)+\bruch{1}{2}*c*b*sin(\alpha)[/mm]
>
> Dividieren durch: [mm]\bruch{1}{2}*d*b[/mm]
>
> [mm]sin(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*sin(\beta)+cos(\beta)*sin(\alpha)[/mm]
>
> So kann ich jetzt ja alle anderen Additionstheoreme
> herleiten....
>
> Gruß
>
> Angelika
>
Hallo, es gibt nur ein Problem dabei: du betrachtest (beim Weg über den Dreiecksflächeninhalt) nur Winkelsummen bis maximal 180°.
Die Sache mit den Flächeninhalten ist beim Kosinus nur bedingt anwendbar. Aber du kannst ja über den trigonometrischen Pythagoras gehen.
Viele Grüße
Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 So 27.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> > Vielen Dank an euch beide!
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> > Die Herleitung anhand des Einheitskreises kannte ich,
> > trotzdem vielen Dank für die Mühe mit den Skizzen. Deine
> > Herleitung auf algebraischen Weg vom Sinus-Additionstheorem
> > hat mir sehr weitergeholfen.Die komlexe Herleitung benötigt
> > wiederum Kenntnisse und Herleitung der eulerschen
> > Identität, was wir in der Schule noch nicht gemacht haben.
> >
> > Ich habe dieses nämlich auf einen ganz anderem Weg
> > hergeleitet:
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Nach einer Flächenformel gilt:
> >
> > [mm]A=\bruch{1}{2}*d*b*sin(\alpha+\beta)[/mm]
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> > Für die einzelnen Flächen:
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> > [mm]A=\bruch{1}{2}*d*c*sin(\beta)+\bruch{1}{2}*c*b*sin(\alpha)[/mm]
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> > Gleichsetzten:
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> [mm]\bruch{1}{2}*d*b*sin(\alpha+\beta)=\bruch{1}{2}*d*c*sin(\beta)+\bruch{1}{2}*c*b*sin(\alpha)[/mm]
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> > Dividieren durch: [mm]\bruch{1}{2}*d*b[/mm]
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> [mm]sin(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*sin(\beta)+cos(\beta)*sin(\alpha)[/mm]
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> > So kann ich jetzt ja alle anderen Additionstheoreme
> > herleiten....
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> > Gruß
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> > Angelika
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> Hallo, es gibt nur ein Problem dabei: du betrachtest (beim
> Weg über den Dreiecksflächeninhalt) nur Winkelsummen bis
> maximal 180°.
> Die Sache mit den Flächeninhalten ist beim Kosinus nur
> bedingt anwendbar. Aber du kannst ja über den
> trigonometrischen Pythagoras gehen.
Diese Art von Einschränkung gilt natürlich auch für die anderen elementargeometrischen Varianten des Beweises. Dazu fällt mir gerade ein, was der grosse I.M. Gelfand in seinem Büchlein "Trigonometry", Chapter 7 Trigonometric Identities, zu diesem Problem schreibt:
Checking the formula for [mm] $\sin(\alpha+\beta)$ [/mm] for general angles becomes very tedious. You can try it for other angles, reducing each sine or cosine to a function of a positive acute angle. But pack a lunch, because such a procedure takes a long time.
For this situation, a theorem from higher mathematics comes to our rescue. Called the Principle of Analytic Continuation. .. any identity involving rational trigonometric functions that is true for positive acute angles is true for any angle at all.
(Effektiv genügt es schon, dass die Identität für Winkel aus einem beliebig kleinen offenen Intervall gilt.)
Kurz: Ich glaube es macht keinen Sinn, in dieser Frage bis zum bitteren Ende präzise sein zu wollen. Was für Gelfand gut genug war, ist mir persönlich an dieser Stelle auch recht. Es muss ja noch etwas an offenzulegenden wertvollen Einsichten für die Funktionentheorie übrigbleiben.
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