www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis-Sonstiges" - Herleitung Tangentengleichung
Herleitung Tangentengleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 So 15.11.2009
Autor: toffifee93

Aufgabe
Gegeben: Kreis K(M, r); [mm] M(x_{m} [/mm] | [mm] y_{m}); [/mm] Berührungspunkt [mm] B(x_{b} [/mm] | [mm] y_{b}); [/mm] B [mm] \in [/mm] K
Leiten Sie die allgemeine Tangentengleichung an einen Kreis mit Berührpunkt B her:
[mm] r^{2} [/mm] = (x - [mm] x_{m}) (x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] + (y - [mm] y_{m}) (y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm]

Die Steigung habe ich nun schon rausbekommen:

[mm] m_{t} [/mm] = - [mm] \bruch{x_{b} - x_{m}}{y_{b} - y_{m}} [/mm]

Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Meine Lehrerin hatte mir noch den Tipp gegeben, dass B die Kreisgleichung erfüllt, aber auch damit komme ich nicht weiter.


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Kreistangentengleichung

        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,


[willkommenmr]


> Gegeben: Kreis K(M, r); [mm]M(x_{m}[/mm] | [mm]y_{m});[/mm] Berührungspunkt
> [mm]B(x_{b}[/mm] | [mm]y_{b});[/mm] B [mm]\in[/mm] K
>  Leiten Sie die allgemeine Tangentengleichung an einen
> Kreis mit Berührpunkt B her:
>  [mm]r^{2}[/mm] = (x - [mm]x_{m}) (x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] + (y - [mm]y_{m}) (y_{b}[/mm] -
> [mm]y_{m})[/mm]
>  Die Steigung habe ich nun schon rausbekommen:
>  
> [mm]m_{t}[/mm] = - [mm]\bruch{x_{b} - x_{m}}{y_{b} - y_{m}}[/mm]
>  
> Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Meine Lehrerin
> hatte mir noch den Tipp gegeben, dass B die Kreisgleichung
> erfüllt, aber auch damit komme ich nicht weiter.
>  


Stelle zunächst die Tangentengleichung auf:

[mm]y=m_{t}*x+b[/mm]

Verwende nun, daß [mm]\left(x_{b}\left\right|y_{b}\right)[/mm]
auf dieser Tangente liegt.

Daraus ergibt sich der Achsenabschnitt b.

Danach mußt Du etwas tricksen, um auf obige Gleichung zu kommen.


>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Kreistangentengleichung


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 So 15.11.2009
Autor: toffifee93

Ich setze also nun [mm] x_{b} [/mm] und [mm] y_{b} [/mm] ein und erhalte nach Umformen:

b = [mm] y_{b}^{2} [/mm] - [mm] y_{b} [/mm] * [mm] y_{m} [/mm] + x [mm] _{b}^{2} [/mm] +  [mm] x_{b} [/mm] * [mm] x_{m} [/mm]

(Ich hoffe das ist richtig.)

Aber wie geht es dann genau weiter?

Bezug
                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Ich setze also nun [mm]x_{b}[/mm] und [mm]y_{b}[/mm] ein und erhalte nach
> Umformen:
>  
> b = [mm]y_{b}^{2}[/mm] - [mm]y_{b}[/mm] * [mm]y_{m}[/mm] + x [mm]_{b}^{2}[/mm] +  [mm]x_{b}[/mm] *
> [mm]x_{m}[/mm]


Das stimmt nicht ganz:


[mm]b = \bruch{y_{b}^{2} - y_{b} * y_{m} + x_{b}^{2} \red{-} x_{b} * x_{m}}{\red{y_{b}-y_{m}}}[/mm]


>  
> (Ich hoffe das ist richtig.)
>  
> Aber wie geht es dann genau weiter?


Setze dieses b in die Tangentengleichung

[mm]y=m_{t}*x+b[/mm]

ein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93

Ok, schonmal Danke für deine Antworten.

Aber wie muss ich jetzt genau umformen, um auf die gewünschte Form zu kommen und vor allem wie komme ich auf das [mm] r^{2}? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Ok, schonmal Danke für deine Antworten.
>  
> Aber wie muss ich jetzt genau umformen, um auf die
> gewünschte Form zu kommen und vor allem wie komme ich auf
> das [mm]r^{2}?[/mm]  


Wende zunächst auf das b das Distributivgesetz an.

In der Formel siehst Du, daß hier Ausdrücke wie

[mm]y-y_{m}, \ x-x_{m}[/mm]

vorhanden sind.

In der Tangenten Gleichung hast Du jedoch Ausdrücke der Form

[mm]y-y_{b}, \ x-x_{b}[/mm]

Hier liegt es doch nahe, eine künstliche Null hinzuzufügen.

[mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]

[mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93

Moment, also ich setzte erstmal m und b in die allg. Geradengleichung ein und erhalte:

y = - [mm] \bruch{(x_{b} - x_{m}) * x}{y_{b} - y_{m}} [/mm]  + [mm] \bruch{y_{b}^{2} - y_{b} * y_{m} + x_{b}^{2} x_{b} * x_{m}}{y_{b}-y_{m}} [/mm]
(Habe x schon mit Steigung multipliziert.)

Nun rechne ich auf beiden Seiten mal [mm] y_{b}-y_{m} [/mm] um die Brüche wegzubekommen:

[mm] y(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] = [mm] (-x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] * x + [mm] y_{b}^{2}-y_{b}*y_{m} [/mm] + [mm] x_{b}^{2}-x_{b}*x_{m} [/mm]

Aber auch nach Auflösen der beiden restlichen Klammer erhalte ich nichts was im Entferntesten der Tangentengleichung nahe kommt...

Bezug
                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Moment, also ich setzte erstmal m und b in die allg.
> Geradengleichung ein und erhalte:
>  
> y = - [mm]\bruch{(x_{b} - x_{m}) * x}{y_{b} - y_{m}}[/mm]  +
> [mm]\bruch{y_{b}^{2} - y_{b} * y_{m} + x_{b}^{2} x_{b} * x_{m}}{y_{b}-y_{m}}[/mm]
>  
> (Habe x schon mit Steigung multipliziert.)
>  
> Nun rechne ich auf beiden Seiten mal [mm]y_{b}-y_{m}[/mm] um die
> Brüche wegzubekommen:
>  
> [mm]y(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = [mm](-x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] * x +
> [mm]y_{b}^{2}-y_{b}*y_{m}[/mm] + [mm]x_{b}^{2}-x_{b}*x_{m}[/mm]
>  
> Aber auch nach Auflösen der beiden restlichen Klammer
> erhalte ich nichts was im Entferntesten der
> Tangentengleichung nahe kommt...


Den Ausdruck

[mm]y_{b}^{2}-y_{b}*y_{m}+ x_{b}^{2}-x_{b}*x_{m}[/mm]

kannst noch etwas anders schreiben:

[mm]y_{b}*\left(...\right)+x_{b}*\left(...\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93

Ah ok, daraus folgt dann:

[mm] y(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] + [mm] x(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] = [mm] y_{b}(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] + [mm] x_{b}(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm]

Und wie geht es jetzt weiter? Wie komm ich zum [mm] r^{2}? [/mm]
(Ist wahrscheinlich ganz einfach, aber ich steh gerade ziemlich aufm Schlauch ;) )

Bezug
                                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Ah ok, daraus folgt dann:
>  
> [mm]y(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] + [mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] = [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm]
> + [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm]
>  
> Und wie geht es jetzt weiter? Wie komm ich zum [mm]r^{2}?[/mm]
>  (Ist wahrscheinlich ganz einfach, aber ich steh gerade
> ziemlich aufm Schlauch ;) )


Dann geh runter vom Schlauch.

Bringe zunächst mal alles auf eine Seite und ersetze,
wie in einem der vorigen Posts erwähnt:

[mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]

[mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]

Nutze dann, die Kenntnis, daß der  Berührpunkt auf dem Kreis liegt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93

Also die Ähnlichkeit zur Kreisgleichung lässt sich schon erahnen, allerdings müssten ja dazu die "Vorfaktoren" der Klammern weg sein.
Ich verstehe aber gar nicht, wo ich das hier anwenden soll:

[mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]

[mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]

Bezug
                                                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Also die Ähnlichkeit zur Kreisgleichung lässt sich schon
> erahnen, allerdings müssten ja dazu die "Vorfaktoren" der
> Klammern weg sein.
>  Ich verstehe aber gar nicht, wo ich das hier anwenden
> soll:
>  
> [mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]
>
> [mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]  


Nun, Du hast eine Gleichung der Form

[mm] ... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]

Ersetze jetzt wie angegeben, dann steht da:

[mm] ... * \left(x-x_{m}\right)+... * \left(x_{m}-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)+ ... * \left(y_{m}-y_{b}\right)=0[/mm]

[mm]\gdw ... * \left(x-x_{m}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)=... * \left(x_{b}-x_{m}\right)+... * \left(y_{b}-y_{m}\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93


Nun, Du hast eine Gleichung der Form

[mm] ... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]

Nein, bei mir steht gerade:

[mm] x(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] - [mm] x_{b}(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] +   [mm] y(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] - [mm] y_{b}(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] = 0

Ich habe nirgendswo ein einzelnes X in der Klammer. Was habe ich falsch gemacht?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

>
> Nun, Du hast eine Gleichung der Form
>
> [mm]... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
>  
> Nein, bei mir steht gerade:
>  
> [mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] - [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] +   [mm]y(y_{b}[/mm] -
> [mm]y_{m})[/mm] - [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = 0
>  
> Ich habe nirgendswo ein einzelnes X in der Klammer. Was
> habe ich falsch gemacht?


Die Gleichung, die Du erhalten hast, kannst Du noch etwas zusammenfassen:

[mm]\left(x-x_{b}\right)*(x_{b} - x_{m}) + \left(y-y_{b}\right)*(y_{b} - y_{m}) = 0[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93

Ok, ich hab es nun endlich verstanden. Kann nun den Teil auf der rechten Seite mit der Kreisgleichung einsetzen/gleichsetzten und komme dann auf die Tangentengleichung.

Allerdings müsstest du mir die Umformung von:
[mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] - [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] -[mm]x_{m})[/mm] +   [mm]y(y_{b}[/mm] -  [mm]y_{m})[/mm] - [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = 0

auf:
[mm]\left(x-x_{b}\right)*(x_{b} - x_{m}) + \left(y-y_{b}\right)*(y_{b} - y_{m}) = 0[/mm]

nochmal erklären. Gibt es da irgendeine Gesetzmäßigkeit, oder so?

Herzlichen Dank!!

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Ok, ich hab es nun endlich verstanden. Kann nun den Teil
> auf der rechten Seite mit der Kreisgleichung
> einsetzen/gleichsetzten und komme dann auf die
> Tangentengleichung.
>  
> Allerdings müsstest du mir die Umformung von:
>  [mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] - [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] -[mm]x_{m})[/mm] +   [mm]y(y_{b}[/mm] -  
> [mm]y_{m})[/mm] - [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = 0
>
> auf:
>  [mm]\left(x-x_{b}\right)*(x_{b} - x_{m}) + \left(y-y_{b}\right)*(y_{b} - y_{m}) = 0[/mm]
>  
> nochmal erklären. Gibt es da irgendeine Gesetzmäßigkeit,
> oder so?


[mm]x(x_{b} - x_{m}) - x_{b}(x_{b} -x_{m}) + y(y_{b} - y_{m}) - y_{b}(y_{b} - y_{m}) = 0 [/mm]


Hier siehst Du, daß die ersten 2 Summanden den Faktor
[mm]\left(x_{b}-x_{m}\right)[/mm] gemeinsam haben.

Daher kannst Du nach dem Distributivgesetz schreiben:

[mm]x(x_{b} - x_{m}) - x_{b}(x_{b} -x_{m})=\left(x-x_{b}\right)*\left(x_{b}-x_{m}\right)[/mm]

Analog gilt das für den 3. und 4. Summanden:

[mm]y(y_{b} - y_{m}) - y_{b}(y_{b} -y_{m})=\left(y-y_{b}\right)*\left(y_{b}-y_{m}\right)[/mm]


>  
> Herzlichen Dank!!


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Mo 16.11.2009
Autor: toffifee93

Achja so nannte sich das :D

Gibt es dafür auch einen Namen?

Nun, Du hast eine Gleichung der Form

[mm] ... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]

Ersetze jetzt wie angegeben, dann steht da:

[mm] ... * \left(x-x_{m}\right)+... * \left(x_{m}-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)+ ... * \left(y_{m}-y_{b}\right)=0[/mm]


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 16.11.2009
Autor: MathePower

Hallo toffifee93,

> Achja so nannte sich das :D
>  
> Gibt es dafür auch einen Namen?


"Ausklammern"


>  
> Nun, Du hast eine Gleichung der Form
>
> [mm]... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
>
> Ersetze jetzt wie angegeben, dann steht da:
>
> [mm]... * \left(x-x_{m}\right)+... * \left(x_{m}-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)+ ... * \left(y_{m}-y_{b}\right)=0[/mm]
>  


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Di 17.11.2009
Autor: toffifee93

Ok, nochmal danke für deine Geduld!

Bezug
                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Do 08.12.2011
Autor: phatphunkphreak

Hallo,
an diesem Punkt kann ich nicht nachvollziehen wie man auf diese beiden Gleichungen kommt. Was ist mit dieser künstlichen Null gemeint?

Vielen Dank

Bezug
                                                        
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Fr 09.12.2011
Autor: chrisno

Ich nehme an, Du meinst Die beiden letzten Gleichungen (benutze einfach die Zitierfunktion und lösche alles, was zu viel ist)

> In der Formel siehst Du, daß hier Ausdrücke wie
> $ [mm] y-y_{m}, [/mm] \ [mm] x-x_{m} [/mm] $
> vorhanden sind.

Ist klar, oder?

> In der Tangenten Gleichung hast Du jedoch Ausdrücke der Form
> $ [mm] y-y_{b}, [/mm] \ [mm] x-x_{b} [/mm] $

Ist auch klar, oder?

> Hier liegt es doch nahe, eine künstliche Null hinzuzufügen.

Vorhanden ist $ [mm] x-x_{m} [/mm] $, benötigt wird $ [mm] x-x_{b} [/mm] $
$ [mm] x-x_b [/mm] =  [mm] x-x_b [/mm] + 0 = [mm] x-x_b [/mm] + [mm] x_m [/mm] - [mm] x_m [/mm] = $

> $ [mm] x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b} [/mm] $

Null darf man immer addieren und dann so passend in hier eben in $+ [mm] x_m [/mm] - [mm] x_m$ [/mm] zerlegen. Dann hat man das [mm] $-x_m$, [/mm] was man braucht. Nur muss man den anderen Teil, [mm] $+x_m$, [/mm] auch irgendwo passend unterbringen.

Bezug
                                                                
Bezug
Herleitung Tangentengleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Fr 09.12.2011
Autor: phatphunkphreak

Vielen Dank!

Jetzt habe auch ich es verstanden.

Viele Grüße

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]