Herleitung der Ableitung (Exp) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Tatze18 |
| Aufgabe | f(x)= [mm] \Delta^x [/mm]
Ableitung an der Stelle a |
Hallo liebe Community.
Wir beschäftigen uns in Mathe gerade mit den Exponentialfunktionen und den Ableitungen. Dazu haben wir uns der h-Methode bedient, um den Differenzenquotienten zu bestimmen. Soweit habe ich auch alles verstanden, nur bereitet mir ein Punkt Kopfzerbrechen:
Als Ableitung and er Stelle a haben wir : f'(a) = [mm] \Delta^a \limes_{h\rightarrow\0} (\frac {\Delta^h -1}{h}
[/mm]
Meine Frage ist, wieso der limes am Ende gleichzusetzen ist mit der Ableitung an der Stelle 0, das versteh ich nicht ganz. Als Endlosung steht nämlich: f'(x)= f'(0) [mm] \Delta^x [/mm]
Ist das so, wenn ihr für a=0 einsätze, genau dieser Limes rauskommt? weil dann ja die h Methode bei x=0
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} (\frac {\Delta^h -1}{h})
[/mm]
ergibt?
Aber wie soll ich denn die Ableitung an der Stelle 0 herausfinden?
Ich hoffe, ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen.
MfG Tatze
|
|
| |
|
> f(x)= [mm]\Delta^x[/mm]
> Ableitung an der Stelle a
> Wir beschäftigen uns in Mathe gerade mit den
> Exponentialfunktionen und den Ableitungen. Dazu haben wir
> uns der h-Methode bedient, um den Differenzenquotienten zu
> bestimmen. Soweit habe ich auch alles verstanden, nur
> bereitet mir ein Punkt Kopfzerbrechen:
>
> Als Ableitung and er Stelle a haben wir : f'(a) = [mm]\Delta^a \limes_{h\rightarrow\0} (\frac {\Delta^h -1}{h}[/mm]
>
> Meine Frage ist, wieso der limes am Ende gleichzusetzen ist
> mit der Ableitung an der Stelle 0, das versteh ich nicht
> ganz. Als Endlosung steht nämlich: f'(x)= f'(0) [mm]\Delta^x[/mm]
> Ist das so, wenn ihr für a=0 einsätze, genau dieser Limes
> rauskommt? weil dann ja die h Methode bei x=0
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} (\frac {\Delta^h -1}{h})[/mm]
> ergibt?
>
> Aber wie soll ich denn die Ableitung an der Stelle 0
> herausfinden?
Hallo Tatze,
ehrlich gesagt finde ich die Bezeichnung [mm] \Delta [/mm] für die
Basis in diesem Zusammenhang sehr sonderbar und
verwirrend, denn das Symbol [mm] \Delta [/mm] verwendet man
bei der Einführung des Ableitungsbegriffs in ganz
anderem Sinn. Schreiben wir also lieber:
[mm] f(x)=c^x [/mm] (c konstant)
Mit der "h-Methode" notiert ist dann der Differenzen-
quotient an der Stelle a:
[mm] \bruch{f(a+h)-f(a)}{h}=\bruch{c^{a+h}-c^{a}}{h}=\bruch{c^{a}*(c^h-1)}{h}=c^{a}*\bruch{c^h-1}{h}
[/mm]
Wenn man nun den Grenzwert für [mm] h\to [/mm] 0 bildet, erhält man
die Ableitung an der Stelle a:
[mm] f'(a)=\limes_{h\to 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}=\limes_{h\to 0}\left(c^{a}*\bruch{c^h-1}{h}\right)=c^{a}*\limes_{h\to 0}\left(\bruch{c^h-1}{h}\right)
[/mm]
Setzt man hier für a den Wert 0 ein, so hat man:
[mm] f'(0)=\underbrace{c^{0}}_{=1}*\limes_{h\to 0}\left(\bruch{c^h-1}{h}\right)=\limes_{h\to 0}\left(\bruch{c^h-1}{h}\right)
[/mm]
Die Bestimmung des Grenzwertes [mm] \limes_{h\to 0}\left(\bruch{c^h-1}{h}\right) [/mm]
ist eine gesonderte (und sehr wichtige !) Frage-
stellung, die sicher noch behandelt wird, falls
dies noch nicht geschehen ist.
Alles klar ?
Gruß Al-Chw.
|
|
|
|
