Herleitung der Exponentioalfkt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Mein Dozent hat in der Chemievorlesung (Thema war C14 Nachweis) die Herleitung zu der klaren und verständlichen Funktion N(t) = N(0) * e^(-µ*t) angeschrieben:
v=(dN(14C))/dt = -µN
∫dn=-µNdt wobei bei dem Integralzeichen oben unendlich und unten t=0 steht
=> N(t) = N(0)*e^(-µ*t) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich kann es leider nicht verständlicher hinschreiben, da ich
1. neu im Forum bin
2. es so in meinen Aufzeichnungen stehen hab.
Ich verstehe nicht warum er in dem ersten Schritt ableiten und im zweiten Schritt das Integral verwendet. Sind ja eig "in gegen gesetzte Richtungen". Und was ich gar nicht verstehe ist, wie man aus dem Integral auf die eigentliche Funktion kommt.
|
|
| |
|
Hallo und Willkommen,
> Mein Dozent hat in der Chemievorlesung (Thema war C14
> Nachweis) die Herleitung zu der klaren und verständlichen
> Funktion N(t) = N(0) * e^(-µ*t) angeschrieben:
>
> v=(dN(14C))/dt = -µN
> ∫dn=-µNdt wobei bei dem Integralzeichen oben
> unendlich und unten t=0 steht
>
> => N(t) = N(0)*e^(-µ*t)
Das macht so in dieser Form eigentlich wirklich gar keinen Sinn.
Zweifelsfrei handelt es sich bei N(t) um das Zerfallsgesetz.
Man geht dabei normal von der DGL
[mm] N'(t)=\mu{}N(t) [/mm] (*)
aus.
Diese kann man dann leicht lösen. Daher rührt also auch die Exponentialfunktion.
Es ist [mm] N'(t)=\frac{dN}{dt} [/mm] und nun löst man die DGL entweder über Trennung der Variablen (bei den Naturwissenschaftlern so üblich - alles eben ein bisschen "easy going" oder mathematisch fein und exakt - wo ich mich genre lieber heraushalte ;) )
Du kannst nämlich auch einfach mal annehmen, dass eine Lösung [mm] N(t)=Ce^{at} [/mm] ist und diese Lösung in die DGL (*) einsetzen.
Ich habe aber im Großen und ganzen die Vermutung, dass entweder etwas nicht vollständig an der Tafel stand, oder falsch in den Hefter übertragen wurde?!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Ich kann es leider nicht
> verständlicher hinschreiben, da ich
> 1. neu im Forum bin
> 2. es so in meinen Aufzeichnungen stehen hab.
>
> Ich verstehe nicht warum er in dem ersten Schritt ableiten
> und im zweiten Schritt das Integral verwendet. Sind ja eig
> "in gegen gesetzte Richtungen". Und was ich gar nicht
> verstehe ist, wie man aus dem Integral auf die eigentliche
> Funktion kommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Di 23.10.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast ja die DGL N'(t) = -µ*N(t) gegeben. Das kann man auch als
[mm] \bruch{N'(t)}{N(t)} [/mm] = -µ schreiben.
Weil [mm] \bruch{d}{dt}ln(N(t)) [/mm] = [mm] \bruch{N'(t))}{N(t)} [/mm] gilt, folgt
[mm] \bruch{d}{dt}ln(N(t)) [/mm] = -µ also durch Integration
ln(N(t)) = -µ*t+C wobei C eine Integrationskonstante ist. Also
N(t) = [mm] e^{-\mu*t}*e^C
[/mm]
Für t=0 folgt [mm] N(0)=e^C [/mm] damit also
N(t) = [mm] N(0)*e^{-\mu*t}
[/mm]
|
|
|
|
