Herleitung der Formel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 So 17.05.2009 | | Autor: | sunny9 |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, an der ich die ganze Zeit schon scheitere. Ich stell sie hier einfach mal und vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Also: Zuerst soll man zeigen, dass folgende Gleichungen gelten:
(1)V(X)= [mm] \summe_{k=0}^{n} (k-u)^2 [/mm] *P(X=k) = [mm] (\summe_{k=1}^{n} k^2*P(X=k))-u^2
[/mm]
[mm] (2)k^2* [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k}= (k*(k-1)+k)* {n [mm] \choose [/mm] k} = n*(n-1)* {n-2 [mm] \choose [/mm] k-2}+ n* {n-1 [mm] \choose [/mm] k-1}
[mm] (3)\summe_{k=1}^{n}k^2*P(X=k)=n*(n-1)*p^2*(p+q)^{n-2}+np*(p+q)^{n-1}
[/mm]
Folgere dann aus (1) und (3): V(X)=n*p*(1-p)
So, also ich habe mehrere Ansätze, aber ich kriegs einfach nicht richtig hin.Ich habe überlegt, dass man P(X=k) auch durch: {n [mm] \choose k}*p^k*q^{n-k} [/mm] ausdrücken kann. Weiterhin könnte man {n [mm] \choose [/mm] k} auch mit Fakultäten schreiben, also: [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}.
[/mm]
Vielen Dank schon mal und herzliche Grüße
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Hallo sunny9,
> Hallo,
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> ich habe eine Aufgabe, an der ich die ganze Zeit schon
> scheitere. Ich stell sie hier einfach mal und vielleicht
> kann mir ja jemand helfen.
>
> Also: Zuerst soll man zeigen, dass folgende Gleichungen
> gelten:
>
> (1)V(X)= [mm]\summe_{k=0}^{n} (k-u)^2[/mm] *P(X=k) =
> [mm](\summe_{k=1}^{n} k^2*P(X=k))-u^2[/mm]
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Varianz
>
> [mm](2)k^2* {n \choose k}= (k*(k-1)+k)* {n \choose k} = n*(n-1)* {n-2 \choose k-2}+ n* {n-1 \choose k-1}[/mm]
Schreibe die Binomialkoeffizienten mal als Brüche auf!
>
> [mm](3)\summe_{k=1}^{n}k^2*P(X=k)=n*(n-1)*p^2*(p+q)^{n-2}+np*(p+q)^{n-1}[/mm]
>
> Folgere dann aus (1) und (3): V(X)=n*p*(1-p)
>
> So, also ich habe mehrere Ansätze, aber ich kriegs einfach
> nicht richtig hin.Ich habe überlegt, dass man P(X=k) auch
> durch: [mm]{n \choose k}*p^k*q^{n-k}[/mm] ausdrücken kann.
> Weiterhin könnte man {n [mm] \choose [/mm] k} auch mit Fakultäten
> schreiben, also: [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}.[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal und herzliche Grüße
Gruß informix
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