Herleitung der HNF < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 17.06.2010 | | Autor: | Zizou05 |
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Meine aufgabe ist es die HNF in der Form $ [mm] d=[\vec{x}-\vec{p_1}]\cdot{}\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|} [/mm] $ herzuleiten. Ich hab es schon probier bin aber nicht zu dem richtigem Ergebnis gekommen:
Ebene: E: [mm] a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b
[/mm]
Punkt: P= [mm] (p_1/p_2/p_3)
[/mm]
1. Bestimmung der geraden die senkrecht zur Ebene E und durch Punkt P verläuft:
[mm] \vec{n}=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}
[/mm]
[mm] g=\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}+r\cdot\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}
[/mm]
2. Lotfußpunkt bestimmen:
[mm] x_1=p_1+r \cdot a_1
[/mm]
[mm] x_2=p_1+r \cdot a_2
[/mm]
[mm] x_3=p_1+r \cdot a_3
[/mm]
in die Ebenengleichung einsetzen:
[mm] a_1 \cdot (p_1+r \cdot a_1) [/mm] + [mm] a_2 \cdot (p_2+r \cdot a_2) [/mm] + [mm] a_3 \cdot (p_3+r \cdot a_3)=b [/mm] |ausmultipliziert
[mm] \underline{-(p_1a_1+p_2a_2+p3_a_3-b)} [/mm] =b
[mm] a_1²+a_2²+a_3²
[/mm]
in der Geradengleichung eingesetzt komme ich auf:
[mm] x=\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}+\underline{(p_1a_1+p_2a_2+p3_a_3-b)}\cdot\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] =d
[mm] a_1²+a_2²+a_3²
[/mm]
3. [mm] \overrightarrow{FP}=d
[/mm]
[mm] x=\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}+\underline{(p_1a_1+p_2a_2+p3_a_3-b)}\cdot\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}+\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3} [/mm] =d
[mm] a_1²+a_2²+a_3²
[/mm]
Und wie komme ich jetzt zur Hesseschen Normalenform?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Do 17.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ich schreibe statt [mm] p_1a_1+p_2a_2+p_3a_3=a*p
[/mm]
2.a/|a|=n
aus Bequemlichkeit ohne Vektorpfeile.
> Meine aufgabe ist es die HNF in der Form
> [mm]d=[\vec{x}-\vec{p_1}]\cdot{}\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}[/mm]
> herzuleiten. Ich hab es schon probier bin aber nicht zu dem
> richtigem Ergebnis gekommen:
>
> Ebene: E: [mm]a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b[/mm]
> Punkt: P= [mm](p_1/p_2/p_3)[/mm]
>
> 1. Bestimmung der geraden die senkrecht zur Ebene E und
> durch Punkt P verläuft:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm]
>
> [mm]g=\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}+r\cdot\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm]
>
> 2. Lotfußpunkt bestimmen:
>
> [mm]x_1=p_1+r \cdot a_1[/mm]
> [mm]x_2=p_1+r \cdot a_2[/mm]
> [mm]x_3=p_1+r \cdot a_3[/mm]
>
> in die Ebenengleichung einsetzen:
>
> [mm]a_1 \cdot (p_1+r \cdot a_1)[/mm] + [mm]a_2 \cdot (p_2+r \cdot a_2)[/mm] +
> [mm]a_3 \cdot (p_3+r \cdot a_3)=b[/mm] |ausmultipliziert
>$ [mm] \underline{-(p_1a_1+p_2a_2+p3_a_3-b)} [/mm] $ =b
> $ [mm] a_1²+a_2²+a_3² [/mm] $
nicht b sondern r
übersichtlicher schreibst du:
[mm] r=\bruch{p*a-b}{|a|^2}
[/mm]
und mit b=a*x und [mm] \bruch{a}{|a|}=n
[/mm]
[mm] r=\bruch{p*n-x*n}{|a|}
[/mm]
>
> in der Geradengleichung eingesetzt komme ich auf:
>
> [mm]x=\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}+\underline{(p_1a_1+p_2a_2+p3_a_3-b)}\cdot\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm]
> =d
> [mm]a_1²+a_2²+a_3²[/mm]
das ist F nicht d
verwende bitte nicht das hoch 2 von der Tastatur, das sieht man nicht. schreibe [mm] a_1^2 [/mm] (anklicken, dann siehst dus.
> 3. [mm]\overrightarrow{FP}=d[/mm]
>
> [mm]x=\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}+\underline{(p_1a_1+p_2a_2+p3_a_3-b)}\cdot\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}+\vektor{p_1 \\ p_2 \\ p_3}[/mm]
> =d
> [mm]a_1²+a_2²+a_3²[/mm]
hier ist ein Fehler statt +p muss da -p stehen, dann fällt p weg
ausserdem ist das der Vektor FP, d ist sein Betrag!
Versuchs noch mal, mit der besseren Schreibweise, dann solltest du bein richtigen Ergebnis landen.
unter deinem Eingabefenster steht der Knopf Vorschau, guck dir deine posts auf Fehler und Lesbarkeit an, bevor du sie abschickst.
Gruss leduart
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