Herleitung der Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Leiten sie die Kettenregel anhand der h-Methode her. |
Hallo liebe matheraum.de-User,
Bei uns in Hessen ist wieder Unterricht angesagt und ich habe mich letztes Jahr dafür entschieden, den Mathe-GK zu besuchen. Unser Lehrer hat uns gestern die Aufgabe gestellt, die sogenannte Kettenregel h(x) = f(x) [mm] \circ [/mm] g(x)
herzuleiten. Mir ist jedoch nicht ganz bewusst, wie soetwas überhaupt gemacht wird - während der sogenannten Einführungsphase haben wir uns mit den 'Formeln' für Ableitungen zufrieden gegeben.
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = (f(x+h)-f(x)/h) ist mein Ansatz, das ist mir bewusst.
Mir ist nun jedoch schleierhaft, wie ich das Ganze beweisen soll.
Gibt es da einen allgemeinen 'Lösungsweg' anhand dessen man die Formel der Kettenregel einsetzt?
Ich hoffe mir kann hier etwas auf die Sprünge geholfen werden.
Liebe Grüße,
fackelschein
|
|
| |
|
> Leiten sie die Kettenregel anhand der h-Methode her.
> Kettenregel h(x) = f(x) [mm] \circ [/mm] g(x) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] = (f(x+h)-f(x)/h)
> ist mein Ansatz, das ist mir bewusst.
Hallo fackelschein,
wenn du die "h-Methode" anwenden willst, ist es ziemlich
ungünstig, auch die zusammengesetzte Funktion ausge-
rechnet mit dem Buchstaben h zu bezeichnen.
Nennen wir also die zusammengesetzte Funktion nicht h,
sondern zum Beispiel s:
$\ s\ =\ f [mm] \circ [/mm] g$
$\ s(x)\ =\ [mm] (f\circ [/mm] g)(x)\ =\ f(g(x))$
Die (zu beweisende) Kettenregel besagt, dass dann
$\ s'(x)\ =\ f'(g(x))*g'(x)$
Der Ansatz für die Berechnung der Ableitung nach der
"h-Methode" würde nun lauten:
$\ s'(x)\ =\ [mm] \limes_{h\to 0}\frac{s(x+h)-s(x)}{h}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$
[/mm]
Für die Herleitung lohnt es sich nun, zunächst einmal nur
den Differenzenquotienten (also noch ohne Limes) zu
betrachten und mittels geeigneter Abkürzungen zu
arbeiten. Setzen wir also zum Beispiel u:=g(x) und
k:=g(x+h)-g(x) , also auch g(x+h)=g(x)+k=u+k
Der zu untersuchende Differenzenquotient ist damit:
[mm] $\frac{f(u+k)-f(u)}{h}$
[/mm]
Das sieht fast wieder aus wie der Differenzenquotient in
der Definition der Ableitung - mit dem kleinen Unterschied,
dass da einerseits h und andererseits k vorkommt. Wir
könnten aber schreiben (falls sowohl h als auch k nicht
gleich 0 sind !) :
[mm] $\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\ [/mm] *\ [mm] \frac{k}{h}$
[/mm]
Erinnern wir uns daran, wofür wir k gesetzt haben, so
ist dies:
[mm] $\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\ [/mm] *\ [mm] \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
[/mm]
So, jetzt habe ich deutlich mehr geholfen, als dies hier
gebräuchlich ist ...
Jetzt bliebe noch der ganz wichtige Schritt, die Limes-
überlegungen auf den neuen Term anzuwenden und
die notwendigen Zusatzüberlegungen (zur Gültigkeit
der einzelnen Schritte) zu formulieren ...
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Mi 15.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Leiten sie die Kettenregel anhand der h-Methode her.
>
> > Kettenregel h(x) = f(x) [mm]\circ[/mm] g(x)
>
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] = (f(x+h)-f(x)/h)
>
> > ist mein Ansatz, das ist mir bewusst.
>
>
> Hallo fackelschein,
>
> wenn du die "h-Methode" anwenden willst, ist es ziemlich
> ungünstig, auch die zusammengesetzte Funktion ausge-
> rechnet mit dem Buchstaben h zu bezeichnen.
> Nennen wir also die zusammengesetzte Funktion nicht h,
> sondern zum Beispiel s:
>
> [mm]\ s\ =\ f \circ g[/mm]
>
> [mm]\ s(x)\ =\ (f\circ g)(x)\ =\ f(g(x))[/mm]
>
> Die (zu beweisende) Kettenregel besagt, dass dann
>
> [mm]\ s'(x)\ =\ f'(g(x))*g'(x)[/mm]
>
> Der Ansatz für die Berechnung der Ableitung nach der
> "h-Methode" würde nun lauten:
>
> [mm]\ s'(x)\ =\ \limes_{h\to 0}\frac{s(x+h)-s(x)}{h}\ =\ \limes_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}[/mm]
>
> Für die Herleitung lohnt es sich nun, zunächst einmal
> nur
> den Differenzenquotienten (also noch ohne Limes) zu
> betrachten und mittels geeigneter Abkürzungen zu
> arbeiten. Setzen wir also zum Beispiel u:=g(x) und
> k:=g(x+h)-g(x) , also auch g(x+h)=g(x)+k=u+k
>
> Der zu untersuchende Differenzenquotient ist damit:
>
> [mm]\frac{f(u+k)-f(u)}{h}[/mm]
>
> Das sieht fast wieder aus wie der Differenzenquotient in
> der Definition der Ableitung - mit dem kleinen
> Unterschied,
> dass da einerseits h und andererseits k vorkommt. Wir
> könnten aber schreiben (falls sowohl h als auch k nicht
> gleich 0 sind !) :
>
> [mm]\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\ *\ \frac{k}{h}[/mm]
>
> Erinnern wir uns daran, wofür wir k gesetzt haben, so
> ist dies:
>
> [mm]\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\ *\ \frac{g(x+h)-g(x)}{h}[/mm]
>
> So, jetzt habe ich deutlich mehr geholfen, als dies hier
> gebräuchlich ist ...
Hallo Al,
ganz "sattelfest" ist das nicht, was Du vorschlägst. Es war doch k:=g(x+h)-g(x) und Du teilst durch k ! Wenn g injektiv ist, ist das O.K., aber was, wenn g nicht injektiv ist ?
Gruß FRED
P.S.: es ist völlig "daneben", wenn ein Lehrer den Beweis der Kettenregel von seinen Schülern verlangt.
>
> Jetzt bliebe noch der ganz wichtige Schritt, die Limes-
> überlegungen auf den neuen Term anzuwenden und
> die notwendigen Zusatzüberlegungen (zur Gültigkeit
> der einzelnen Schritte) zu formulieren ...
>
> LG Al-Chwarizmi
>
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
ich bin mir dessen absolut bewusst. Deshalb habe ich
auch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass für die
Überlegung h und k ungleich 0 sein sollen.
Die Betrachtung des Falles k=0 gehört zu den noch
geforderten Zusatzüberlegungen.
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 15.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich bin mir dessen absolut bewusst. Deshalb habe ich
> auch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass für die
> Überlegung h und k ungleich 0 sein sollen.
Pardon, das hatte ich überlesen.
FRED
> Die Betrachtung des Falles k=0 gehört zu den noch
> geforderten Zusatzüberlegungen.
>
> LG Al
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Do 16.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Fred,
> P.S.: es ist völlig "daneben", wenn ein Lehrer den Beweis
> der Kettenregel von seinen Schülern verlangt.
da stimme ich Dir zu. Allerdings fände ich es okay, wenn er den Beweis
so, wie Al das vorgeschlagen hat, vorführt, aber auf die "Problematik"
eingeht. Soll heißen: Ein wenig formales Rechnen, um die Formel zu
verinnerlichen, ist schon okay. Aber da gibt's eh eine schönere Methodik:
$$\frac{d(f \circ g)(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg}*\frac{dg(x)}{dx}\,.$$
Allerdings muss man ja auch da schon den Ausdruck $df(g(x))/dg\,$ richtig zu interpertieren wissen. (Vielleicht schreibt man auch besser $\left.\frac{df(g)}{dg}\right|_{g=g(x)}$ dafür.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mi 01.05.2013 | | Autor: | jktz8432 |
Hallo ich habe ebenfalls eine Frage zur Herleitung der Kettelregel.
Es gilt ja:
f'(g(x)) = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} [/mm] mit h [mm] \not= [/mm] 0.
Warum erweitert man den Bruch nun mit dem Term g(x+h) - g(x). Wie kommt man darauf, dass ausgerechnet diese Erweiterung zum Ziel führt?
Ist es notwendig bei einer Herleiterung in der Schule zu erklären, warurm diese Erweiterung benutzt wird, oder kann man es als "mathematischen Trick" bezeichnen?
|
|
|
| |
|
> Hallo ich habe ebenfalls eine Frage zur Herleitung der
> Kettenregel.
>
> Es gilt ja:
>
> f'(g(x)) = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}[/mm]
> mit h [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Warum erweitert man den Bruch nun mit dem Term g(x+h) -
> g(x). Wie kommt man darauf, dass ausgerechnet diese
> Erweiterung zum Ziel führt?
> Ist es notwendig bei einer Herleiterung in der Schule zu
> erklären, warurm diese Erweiterung benutzt wird, oder kann
> man es als "mathematischen Trick" bezeichnen?
Hallo jktz8432,
es ist ziemlich naheliegend, dass man es bei der Herleitung
einer Ableitungsregel für die verkettete Funktion $\ [mm] f\circ [/mm] g$ mit
den Ableitungen der einzelnen Funktionen und mit den
entsprechenden Differenzenquotienten
[mm] $\frac{\Delta y}{\Delta x}\ [/mm] =\ [mm] \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ [/mm] und [mm] $\frac{\Delta z}{\Delta y}\ [/mm] =\ [mm] \frac{f(y+k)-f(y)}{k}$
[/mm]
zu tun haben wird. Für diese Differenzenquotienten gilt,
sofern sie überhaupt definiert sind (also insbesondere
keiner der Nenner verschwindet), natürlich:
[mm] $\frac{\Delta z}{\Delta x}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\Delta z}{\Delta y}\ [/mm] *\ [mm] \frac{\Delta y}{\Delta x}$
[/mm]
Wenn man diesen Gedanken weiter verfolgt, kommt man
fast zwangsläufig zu der besagten Umformung.
Da ist also keinerlei "mathematische Trickserei" dahinter !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ich habe ebenfalls eine Frage zur Herleitung der
> Kettelregel.
>
> Es gilt ja:
>
> f'(g(x)) = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}[/mm]
> mit h [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Warum erweitert man den Bruch nun mit dem Term g(x+h) -
> g(x). Wie kommt man darauf, dass ausgerechnet diese
> Erweiterung zum Ziel führt?
Du kannst [mm] $f\,'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm] lesen als
"Für eine jede Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] mit $0 [mm] \not=h_n \to [/mm] 0$ gilt
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{f(x+h_n)-f(x)}{(x+h_n)-x}=g\,.$"
[/mm]
Schreibe jetzt mal
[mm] $$((f\circ g)(x))\,'(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{f(g(x+h_n))-f(g(x))}{h_n}$$ [/mm]
für eine Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] mit $0 [mm] \not=h_n \to [/mm] 0$ hin. Das "davorstehende" kann man nicht direkt
anwenden, da [mm] '$g\,$ [/mm] störend im Zähler' steht. Wenn man nun weiß, dass aber
[mm] $(\tilde{h}_n)_n:\equiv(g(x+h_n)-g(x))_n$ [/mm] für (genügend große) [mm] $n\,$ [/mm] auch $0 [mm] \not=\tilde{h}_n$ [/mm] erfüllen würde
und dass zudem [mm] $\tilde{h}_n \to [/mm] 0$ gilt...
Denke mal drüber nach, dann wirkt diese "Trickserei" gar nicht mehr so
wie Zauberei, sondern als eine naheliegende Erweiterung...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
