Herleitung der Kreisfläche < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 19.07.2010 | | Autor: | algieba |
Hi
Ich habe heute mal zum Spaß versucht, die Formel für die Fläche eines Kreises herzuleiten. (also $V = [mm] \pi \cdot r^2$).
[/mm]
Ich habe mir überlegt, dass ich den Kreis in Dreiecke unterteile, und dann die Anzahl der Dreiecke gegen unendlich laufen lasse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dazu habe ich den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet:
Der untere Vektor ist ja gerade [mm] $\vektor{r \\ 0}$, [/mm] der obere [mm] $\vektor{a \\ b}$. [/mm] Der Winkel zwischen den beiden ist [mm] $\frac{2\pi}{n}$ [/mm] (damit ich nachher n gegen unendlich laufen lassen kann).
Daraus folgt dann [mm] $\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) [/mm] = [mm] \frac{\vektor{r \\ 0}\vektor{a \\ b}}{\vmat{ \vektor{r \\ 0} }\vmat{ \vektor{a \\ b} }} [/mm] = [mm] \frac{ra}{r^2} [/mm] = [mm] \frac{a}{r}$
[/mm]
Es gilt dann: $b = [mm] \sqrt{r^2-a^2} [/mm] = [mm] \sqrt{r^2 - r^2\cdot (\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right))^2} [/mm] = [mm] r\sqrt{1-(\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right))^2}$
[/mm]
Nach der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks (halbe Grundfläche mal Höhe) gilt dann:
[mm] $V_d [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] r [mm] \cdot [/mm] b = [mm] \frac{r^2}{2} \cdot \sqrt{1-(\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right))^2}$
[/mm]
Der Flächeninhalt des Kreises ist dann:
$V = [mm] V_d \cdot [/mm] n$ wobei [mm] $n\rightarrow \infty$
[/mm]
Also:
$V = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{r^2\cdot n}{2} \cdot \sqrt{1-(\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right))^2}$
[/mm]
$= [mm] r^2 \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2} \sqrt{(\sin \left(\frac{2\pi}{n}\right))^2}$
[/mm]
$= [mm] r^2 \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)$
[/mm]
Jetzt kommt endlich meine Frage:
Wie berechne ich den Grenzwert? Nach wxMaxima ist der Grenzwert wirklich [mm] $\pi$ [/mm] (was es ja auch sein soll), ich weiß aber nicht wie ich das selber berechnen kann. Ich habe schon L'Hospital versucht bin aber gescheitert. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
algieba
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht gut aus. Nun brauchst du, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] ist. Das hast du sicher schon mal gesehen.
Dann ist [mm] r^2 \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)=r^2*\pi \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2*\pi} \cdot \sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)=r^2*\pi \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \bruch{\sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\frac{2*\pi}{n}}=r^2*\pi*1=r^2*\pi.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mo 19.07.2010 | | Autor: | algieba |
> Hi!
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> Sieht gut aus. Nun brauchst du, dass [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1[/mm]
> ist. Das hast du sicher schon mal gesehen.
Das ist ja mit L'Hospital ganz leicht zu beweisen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)}{1} [/mm] = 1$
>
> Dann ist [mm]r^2 \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)=r^2*\pi \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2*\pi} \cdot \sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)=r^2*\pi \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \bruch{\sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\frac{2*\pi}{n}}=r^2*\pi*1=r^2*\pi.[/mm]
>
> Teufel
>
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Viele Grüße
algieba
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