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Hallo liebe User,
ich muss für meine Facharbeit (über Komplexe Zahlen) die eulersche Formel, also die Formel, die die Exponentialfunktionen mit den Winkelfunktionen verknüpft, herleiten.
Weiß aber nicht wirklich wie ich das machen soll.
Könnt ihr mir bitte bei diesem Problem helfen?
Vielen Dank schon im Voraus
tobinator
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Ok danke für den Tipp, nur ist mir unklar wieso, bei der 3. Methode (für dich ich mich entschieden habe) per Definition dies so ist?
Das kann ich ja eigentlich nicht in meine Facharbeit schreiben, dies benötigte doch dann wieder einen Beweis, dass es so ist :(
Oder ist der Sachverhalt so einfach, dass ich ihn gerade nicht blicke?
Kann mir jemand helfen?
mfg
tobinator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tobinator,
die Herleitungen auf der Wikipedia-Seite sind in meinen Augen keine Herleitungen, sondern der Nachweis der Gültigkeit der Formel an Fallbeispielen. Du hast Dich wohl für die dritte "Herleitung" entschieden, weil sie schön kurz ist, aber dann kamst Du doch noch rechtzeitig ins Grübeln.
Mein Vorschlag für eine Herleitung ist recht einfach, mach es wie Euler, der unendliche Reihen schon kannte und sehr virtuos mit ihnen umgehen konnte. Bekannt war damals schon die unendliche Reihe für die e-Funktion:
$$ [mm] e^x [/mm] = 1 + x + [mm] \bruch{x^2}{2 !} [/mm] + [mm] \bruch{x^3}{3 !} [/mm] + ... $$.
Wenn Du anstelle der Variablen x nun ix einsetzt, steht da
$$ [mm] e^{ix} [/mm] = 1 + ix - [mm] \bruch{x^2}{2 !} [/mm] - [mm] \bruch{i x^3}{3 !} [/mm] + [mm] \bruch{x^4}{4 !} [/mm] +- ... $$
Hierbei habe ich schon ausgenutzt, dass [mm] i^2 = -1, i^3 = -i , i^4 = 1 ... [/mm] gilt. Nun kann man die Terme dieser unendlichen Reihe nach Real- und Imaginärteil trennen und erhält $$
[mm] e^{ix} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{x^2}{2 !} [/mm] + [mm] \bruch{x^4}{ 4 !} [/mm] -+ ..) + [mm] i\cdot [/mm] (x - [mm] \bruch{x^3}{3 !} [/mm] + [mm] \bruch{x^5}{5 !} [/mm] -+ ...) $$.
Die beiden in den Klammern vorkommenden Reihen sind die Reihenentwicklung für cos (x) und sin (x) und so kommst Du auf den gewünschten Zusammenhang. Übrigens, die Reihenentwicklung für die trigonometrischen Funktionen kannte auch Euler bereits.
Hoffe, es hilft Dir weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Sa 27.05.2006 | | Autor: | tobinator |
Ja, ich denk mit dem kann ich schon mehr anfangen :)
Vielen Dank an dich ;)
mfg
tobinator
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http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel