Herleitung einer Formel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Forum,
wir haben heute in der Schule die Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Tetraeders und des Oktaeders gelernt. Das ist ja recht schön und gut. Aber ich würde mir gern mal die Formel für das Volumen eines Tetraeders selber herleiten, wenn die Grundseite a bekannt ist.
Ich hab das allerdings noch nie gemacht und wäre darum für Hilfe sehr dankbar.
Ein Paar Vorüberlegungen habe ich schon angestellt; weis aber nicht ob ich da richtig gedacht habe:
- Mann muss was mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rechnen, weil bei spitzzulaufenden Körpern immer ein drittel gebraucht wird.
- Man muss die Grundfläche und die höhe auch nur in "Formelform" kennen.
Ich hab mir auch schonmal ne Formel ausgedacht, die ist aber bestimmt falsch. ich bin dabei also von der Grundseite eines Dreiecks ausgegangen:
[mm] h=\bruch{a}{2}*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] V=\bruch{1}{3}*\bruch{a}{2}*\bruch{a}{2}*\wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{12}*\wurzel{3}
[/mm]
Sollte das stimmen, dann wüsste ich aber auch gern, wie man sich das h herleitet. Dass kann ich nämlich noch auswendig.
Viele Grüsse
MatheSckell
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Hallo,
dein V kann so nicht stimmen, du hast [mm] a^{2} [/mm] stehen, ist von der Dimension nur eine Fläche. Es gilt: [mm] V=\bruch{1}{3}*A_g*H, [/mm]
[mm] A_g [/mm] ist die Grundfläche, ein gleichseitiges Dreieck [mm] A_g=\bruch{a^{2}}{4}\wurzel{3}
[/mm]
H ist die Körperhöhe, die brauchen wir noch, zunächst die Höhe [mm] h_g [/mm] der Grunfläche: [mm] h_g=\wurzel{a^{2}-(\bruch{a}{2})^{2}}=\wurzel{a^{2}-\bruch{a^{2}}{4}}=\wurzel{\bruch{3}{4}a^{2}}=\bruch{\wurzel{3}}{2}a
[/mm]
jetzt die Körperhöhe H:
[mm] H^{2}=a^{2}-(\bruch{2}{3}*\bruch{\wurzel{3}}{2}a)^{2}=a^{2}-\bruch{3}{9}a^{2}=\bruch{6}{9}a^{2}
[/mm]
[mm] H=\bruch{\wurzel{6}}{3}a
[/mm]
die Höhe H oben einsetzen
[mm] V=\bruch{1}{3}*\bruch{a^{2}}{4}\wurzel{3}*\bruch{\wurzel{6}}{3}a
[/mm]
[mm] V=\bruch{\wurzel{3}*\wurzel{6}}{36}*a^{3}=\bruch{\wurzel{18}}{36}*a^{3}=\bruch{\wurzel{2*9}}{36}*a^{3}=\bruch{\wurzel{2}*3}{36}*a^{3}
[/mm]
[mm] V=\bruch{\wurzel{2}}{12}*a^{3}
[/mm]
Ich hänge dir einen Link an, hier siehst du schön die ![[]](/images/popup.gif) Raumhöhe
Steffi
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