Herleitung einer Ungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 So 23.12.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Leiten Sie aus der Ungleichung log y [mm] \ge 1-\frac{1}{y} [/mm] die folgende Ungleichung her:
Für x<1 gilt exp(x) [mm] \ge \frac{1}{1-x} [/mm] |
Hi!
Ich habe die Ungleichung einfach dadurch hergeleitet, dass ich [mm] y=e^x [/mm] gesetzt habe. Meine Frage ist nun, wo ich sehe, dass x<1 sein muss?
LG,
Wimme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 So 23.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wimme!
Die Einschränkung $x \ < \ 1 \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ 1-x \ > \ 0$ benötigst bei der letzten Umformung der Ungleichung:
$$x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1-\bruch{1}{e^x}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{1}{e^x} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1-x \ [mm] \left| \ * \ e^x$$
$$1 \ \ge \ (1-x)*e^x \ \left| \ : \ (1-x) \ \red{> \ 0}$$
Denn nun verändert sich das Ungleichheitszeichen [u]nicht[/u]:
$$\bruch{1}{1-x} \ \ge \ e^x$$
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 23.12.2007 | | Autor: | Wimme |
aja, so ist es logisch.
ich habe das übersehen, weil ich immer dachte, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn man den Kehrwert nimmt:
[mm] \frac{1}{e^x} \ge [/mm] 1-x [mm] \Leftrightarrow e^x \le \frac{1}{1-x}
[/mm]
aber offensichtlich ist dem nicht immer so :D
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Hallo Wimme,
beim Übergang zum Kehrbruch dreht sich das Ungleichheitszeichen schon um, dein Rechenschritt und Loddars Rechnung liefern doch dieselbe Ungleichung
Es hat sich aber wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung eingeschlichen.
Dort müsste es heißen: "Zeige aus der Ungleichung blabla, dass für $x<1$ gilt:
[mm] $\exp(x) [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \frac{1}{1-x}$ [/mm] und nicht [mm] "$\ge$"
[/mm]
Dann stimmt es mit Loddars Rechnung bzw. mit dem direkten Übergang zum Kehrbruch überein
Gruß und frohes Fest
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 23.12.2007 | | Autor: | Wimme |
ja, du hast recht mit der Aufgabenstellung.
Ich weiß, dass beide Wege die korrekte Ungleichung bringen, aber bei dem mit dem direkten Umkehrbruch sehe ich nicht, dass x<1 sein muss.
Danke, Dir auch ein frohes Fest!
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Hallo Wimme,
also beide Wege führen nach Rom.
Beim direkten Übergang zum Kehrbruch kann man vllt. einsehen, dass $x<1$ sein muss, wenn man sich mal die gegenteilige Beh. anschaut.
Was wäre, wenn $x>1$ wäre?
Dann wäre $1-x<0$, also [mm] $\frac{1}{1-x}<0$
[/mm]
Dann stünde also dort [mm] $e^x [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] \ < \ 0$
Aber [mm] $e^x$ [/mm] ist immer positiv, also nie kleiner als etwas Negatives, also ist die Annahme $x>1$ falsch, also muss $x<1$ sein
Gruß
schachuzipus
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