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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Sguva |
Das sogenannte Heron-Verfahren für die näherungsweise Bestimmung von
Wurzel 3 liefert
eine Intervallschachtelung ([an; bn]) , wie in dieser Aufgabe gezeigt werden soll.
Es sei
b0 := 3, a0 := 1, bn :=1/2(bn-1 + an-1) und an :=3/bn
für alle n Elemente 2 N .
(Es wird also immer bn als arithmetisches Mittel von an1 und bn1 gewählt und an so bestimmt,
dass anbn = 3 ist. Geometrisch kann man an und bn als Seitenlängen von Rechtecken
interpretieren, die sämtlich den Flächeninhalt 3 besitzen und sich mit größer werdendem n
immer mehr einem Quadrat annähern.)
a) Berechnen Sie die Intervalle [an; bn] für n = 0, 1, 2, 3.
b) Zeigen Sie die Gleichung b hoch2 runter n= 3 + 1/4 (bn1 [mm] an1)^2 [/mm] und folgern Sie, dass stets bn >
Wurzel 3 gilt.
c) Zeigen Sie: Für alle n Elemente N ist bn < bn1.
d) Folgern Sie aus b) und c): Es ist a0 < a1 < a2 < ... < Wurzel 3.
e) Folgern Sie aus d), dass für alle n Elemente Nder Abstand von bn zu
Wurzel 3 weniger als halb so groß ist wie der Abstand von bn1 zu
Wurzel 3, d.h. bn Wurzel 3 < 1/2 (bn1 Wurzel3).
f) Folgern Sie aus bn+1 > Wurzel 3 (siehe b)), dass der Abstand von an zu Wurzel 3 für alle
n Elemente N kleiner ist als der Abstand von bn zu
Wurzel 3, d.h. Wurzel 3 an < bn Wurzel 3.
g) Zeigen Sie, dass ([an; bn]) eine Intervallschachtelung mit dem Kern
Wurzel 3 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 15.01.2014 | | Autor: | chrisno |
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