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| Aufgabe | [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{b_{n}})
[/mm]
mit [mm] b_{1} [/mm] = x + 1, x [mm] \in \IR, [/mm] x > 0
a) Zeigen Sie, dass [mm] b_{n} [/mm] > 0 und [mm] b_{n}² \ge [/mm] x für alle n [mm] \ge [/mm] 1 gilt.
b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist, d.h. [mm] b_{n+1} \le b_{n} [/mm] gilt für alle n [mm] \ge [/mm] 1
c) Betrachten Sie nun die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{b_{n}} [/mm] , für n = 1, 2,...
Weisen Sie nach, dass die Folge monoton steigt, d.h. [mm] a_{n+1} \ge a_{n} [/mm] für alle n und dass immer [mm] a_{n}² \le [/mm] x gilt.
d) Zeigen Sie nun, dass [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1} \le \bruch{1}{2}(b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}) [/mm] . Drücken Sie alles durch [mm] b_{n} [/mm] aus, schätzen Sie [mm] b_{n+1} [/mm] durch [mm] b_{n} [/mm] ab.
e) Zeigen Sie, dass durch die beiden Folgen [mm] (a_{n} [/mm] | n [mm] \in \IN) [/mm] und [mm] (b_{n} [/mm] | n [mm] \in \IN) [/mm] eine Intervallschachtelung gegeben wird, welche die reelle Zahl [mm] \wurzel{x} [/mm] approximiert. |
a) Hier muss wohl die vollständige Induktion angewandt werden. Wie, weiß ich leider nicht, da ich auch nicht weiß, was genau [mm] b_{n} [/mm] ist.
b&c) Um Monotonie nachzuweisen, muss wohl das geometrische/arithmetische Mittel angewandt werden. Leider weiß ich nicht wie ich das machen soll.
d) Hier habe ich überhaupt keine Ideen :(
e) Dazu müsste ich wohl die vorangegangen Aufgaben gelöst haben.
Ich bin dankbar für jeden weiteren Hinweis.
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> [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*(b_{n}[/mm] + [mm]\bruch{x}{b_{n}})[/mm]
>
> mit [mm]b_{1}[/mm] = x + 1, x [mm]\in \IR,[/mm] x > 0
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]b_{n}[/mm] > 0 und [mm]b_{n}² \ge[/mm] x für alle n
> [mm]\ge[/mm] 1 gilt.
>
> b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist, d.h.
> [mm]b_{n+1} \le b_{n}[/mm] gilt für alle n [mm]\ge[/mm] 1
>
> c) Betrachten Sie nun die Folge [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{x}{b_{n}}[/mm] ,
> für n = 1, 2,...
> Weisen Sie nach, dass die Folge monoton steigt, d.h.
> [mm]a_{n+1} \ge a_{n}[/mm] für alle n und dass immer [mm]a_{n}² \le[/mm] x
> gilt.
>
> d) Zeigen Sie nun, dass [mm]b_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n+1} \le \bruch{1}{2}(b_{n}[/mm]
> - [mm]a_{n})[/mm] . Drücken Sie alles durch [mm]b_{n}[/mm] aus, schätzen Sie
> [mm]b_{n+1}[/mm] durch [mm]b_{n}[/mm] ab.
>
> e) Zeigen Sie, dass durch die beiden Folgen [mm](a_{n}[/mm] | n [mm]\in \IN)[/mm]
> und [mm](b_{n}[/mm] | n [mm]\in \IN)[/mm] eine Intervallschachtelung gegeben
> wird, welche die reelle Zahl [mm]\wurzel{x}[/mm] approximiert.
> a) Hier muss wohl die vollständige Induktion angewandt
> werden. Wie, weiß ich leider nicht, da ich auch nicht weiß,
> was genau [mm]b_{n}[/mm] ist.
Hallo,
aber Du weißt, wie man, wenn man ein Glied der Folge [mm] (b_n) [/mm] gegeben hat, jeweils das drauffolgende bilden kann, was die Sache schon so ausschauen läßt, als käme man mit vollständiger Induktion ganz gut klar.
[mm] b_1 [/mm] ist ja nach Voraussetzung [mm] b_1:=x+1, [/mm] das x ist positiv.
Wie weit bist Du denn gekommen in Aufgabe a=, bzw. wie weit kommst Du jetzt.
Induktionsanfang, Induktionsannahme, die Behauptung, die im Induktionsschluß zu zeigen ist, und erste Schritte des Zeigens sollten doch kein Problem sein.
Falls es an einer dieser Stellen doch Probleme gibt, bitte konkret nachfragen, mitposten, was Du bisher getan hast.
>
> b) Um Monotonie nachzuweisen, muss wohl das
> geometrische/arithmetische Mittel angewandt werden.
Ja?
> Leider
> weiß ich nicht wie ich das machen soll.
Auch dies ruft ja laut nach Induktion. Schreib mal auf, wie weit Du kommst.
Ich glaube, daß man c), d) e) zunächst getrost zurückstellen kann.
Gruß v. Angela
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a) Wenn man in [mm] b_{n} [/mm] für n = 1 einsetzt bekommt man [mm] b_{1} [/mm] = x + 1 > 0 , da x > 0. Somit sollte [mm] b_{n} [/mm] auch größer 0 sein (Induktionsanfang). Ich denke aber, dass es hier besser ist [mm] b_{1} [/mm] in [mm] b_{n+1} [/mm] einzusetzen, um so [mm] b_{n} [/mm] rekursiv zu bestimmen. Wie man rekursiv bestimmt weiß ich leider momentan nicht. Kannst du mir hier einen Hinweis geben?
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> a) Wenn man in [mm]b_{n}[/mm] für n = 1 einsetzt bekommt man [mm]b_{1}[/mm] =
> x + 1 > 0 , da x > 0. Somit sollte [mm]b_{n}[/mm] auch größer 0 sein
Hallo,
somit ist [mm] b_1 [/mm] größer als 0.
> (Induktionsanfang). Ich denke aber, dass es hier besser ist
> [mm]b_{1}[/mm] in [mm]b_{n+1}[/mm] einzusetzen,
Wieso? Wo siehst Du den Vorteil?
> um so [mm]b_{n}[/mm] rekursiv zu
> bestimmen.
???. Kapiere ich nicht.
> Wie man rekursiv bestimmt weiß ich leider
> momentan nicht. Kannst du mir hier einen Hinweis geben?
???
Du hast die Folge doch rekursiv gegeben: [mm] b_1:=1+x, [/mm] $ [mm] b_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(b_{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x}{b_{n}}) [/mm] $.
Das ist eine Bauanleitung dafür, wie man aus einem Folgengleid das nächste bekommt.
Du hattest:
Behauptung: es ist [mm] b_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
I.A n=1: [mm]b_{1}[/mm] = x + 1 > 0, als gilt die Zu zeigende Behauptung für n=1
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1: zu zeigen: ...
Beweis:...
Gruß v. Angela
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[mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{b_{n}}) [/mm] für n = 1
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x+1 [/mm] + [mm] \bruch{x}{x+1})
[/mm]
Hier komme ich leider nicht mehr weiter...
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> [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(b_{n}[/mm] + [mm]\bruch{x}{b_{n}})[/mm] für n =
> 1
> [mm]b_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(x+1[/mm] + [mm]\bruch{x}{x+1})[/mm]
>
> Hier komme ich leider nicht mehr weiter...
Hallo,
wo willst Du hin?
Weißt Du überhaupt, wie das Prinzip der vollständigen  Induktion funktioniert?
Gruß v. Angela
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Induktionsschritt: Wenn n gilt, gilt auch n+1. Also ich probiere es nochmal:
[mm] b_{n+1} =\overbrace{\bruch{1}{2}(b_{n} + \overbrace{\bruch{x}{b{n}}}^{< b_{n}})}^{\le b_{n}}
[/mm]
somit gilt
[mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{b{n}}) \le b_{n}
[/mm]
Geht das in die richtige Richtung?
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Hallo,
ich weiß jetzt nicht genau, wen Du verwirrst, ob mich oder Dich...
Das liegt u.a. an Deiner Wortkargheit.
Ich dachte eigentlich, daß wir bei Aufgabe a) wären und zeigen wollten, daß [mm] b_n>0 [/mm] ist. War dem nicht so?
Offenbar bist Du da längst vorbei.
Nicht so schlimm, aber schreib' was Du aktuell zeigen willst. Das muß man doch wissen, wenn man sagen soll, ob es richtig oder falsch ist.
Wenn Du eine Induktion machst, braucht man:
- die zu beweisende Behauptung.
- den Induktionsanfang
- die induktionsvoraussetzung
- die Behauptung, die im Induktionsschluß bewiesen werden soll
- den Beweis derselben.
Bedenke, daß ich nicht weiß, was Du denkst und auf irgendwelchen Zetteln stehen hast.
Also: wo bist Du denn gerade?
Gruß v. Angela
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Tut mir Leid, aber bin ziemlich müde. Also ich bitte um Entschuldiung wenn ich ein bisschen kaltschnäuzig rüberkomme und danke, dass du dich meiner trotzdem annimmst :)
Ich war bei Aufgabe a). Wie ich gerade bemerkt habe, habe ich aber die Aufgabe b) beantwortet. Bei meiner letzten Antwort habe ich leider vergessen den Induktionsanfang mitzuschreiben.
a) Induktion:
1) A(1) := $ [mm] b_{1} [/mm] $ = x + 1 > 0 , die Behauptung ist also gültig, da x [mm] \in \IR [/mm] > 0
2) A(n+1) := [mm] b_{n+1} =\bruch{1}{2}(b_{n} +\bruch{x}{b{n}}) [/mm] > 0 , Aussage ist wahr, da x [mm] \in \lR, [/mm] x > 0:n [mm] \in \lN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
Leider weiß ich nicht, wie ich damit die Gültigkeit von [mm] b_{n}² \ge [/mm] x bestimmen soll.
b) Induktion:
1) A(1) := [mm] b_{1} [/mm] = x + 1
2) Gilt n, so gilt auch n+1 :
A(n+1) := [mm] b_{n+1} =\overbrace{\bruch{1}{2}(b_{n} + \overbrace{\bruch{x}{b{n}}}^{< b_{n}})}^{\le b_{n}} \le b_{n}
[/mm]
Somit ist die Folge monoton fallend.
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zuschreiben.
>
> a) Induktion:
>
Behauptung: [mm] b_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
> 1) A(1) := [mm]b_{1}[/mm] = x + 1 > 0 , die Behauptung ist also
> gültig, da x [mm]\in \IR[/mm] > 0
> 2) A(n+1) := [mm]b_{n+1} =\bruch{1}{2}(b_{n} +\bruch{x}{b{n}})[/mm]
> > 0 , Aussage ist wahr, da x [mm]\in \lR,[/mm] x > 0:n [mm]\in \lN,[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> 1
Die Begündung überzeugt mich noch nicht. An welcher Stelle hast Du denn die Induktionsvoraussetzung verwendet. Das mußt Du aufschreiben. Keine heimlichkeiten!
> Leider weiß ich nicht, wie ich damit die Gültigkeit von
> [mm]b_{n}² \ge[/mm] x bestimmen soll.
Versuche auch hier eine Induktion. Wie weit bist Du denn gekommen?
>
> b) Induktion:
Zu zeigen: es ist [mm] b_{n+1}\le b_n
[/mm]
>
> 1) A(1) := [mm]b_{1}[/mm] = x + 1
> 2) Gilt n, so gilt auch n+1 :
Hm, wenn ich das so sehe, bekomme ich den Verdacht, daß Du gar keine Induktion machen wolltest - was hier wohl durchaus in Ordnung ist. (Du machst auch keine, den nDu verwendest ja gar keinen Schluß von n auf n+1. Also kann der Induktionsanfang wieder weg.
>
> A(n+1) := [mm]b_{n+1} =\overbrace{\bruch{1}{2}(b_{n} + \overbrace{\bruch{x}{b{n}}}^{< b_{n}})}^{\le b_{n}} \le b_{n}[/mm]
Begründungsbedarf sehe ich dafür, daß [mm] \bruch{x}{b{n}}\le b_n [/mm] ist
> Somit ist die Folge monoton fallend.
Gruß v. Angela
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> An welcher Stelle hast Du denn die Induktionsvoraussetzung verwendet.
A(n+1) := $ [mm] b_{n+1} =\bruch{1}{2}(b_{n} +\bruch{x}{b{n}}) [/mm] + (n+1) > 0 , Aussage ist wahr, da x [mm] \in \IR [/mm] , x > 0:n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] > 1
Meintest du mit Induktionssvoraussetzung das Ergänzen von (n+1)? Wenn ja, reicht das so als Beweis?
> > Leider weiß ich nicht, wie ich damit die Gültigkeit von
> > [mm]b_{n}² \ge[/mm] x bestimmen soll.
>
> Versuche auch hier eine Induktion. Wie weit bist Du denn
> gekommen?
Habe damit nicht angefangen, da ich nicht weiß, mit welcher Gleichung ich hier die Induktion durchführen soll.
> > A(n+1) := [mm]b_{n+1} =\overbrace{\bruch{1}{2}(b_{n} + \overbrace{\bruch{x}{b_{n}}}^{< b_{n}})}^{\le b_{n}} \le b_{n}[/mm]
>
> Begründungsbedarf sehe ich dafür, daß [mm]\bruch{x}{b_{n}}\le b_n[/mm]
> ist
Da x in [mm] b_{n} [/mm] enthalten ist und [mm] b_{n} [/mm] nicht 0 sein kann, da Division durch 0 nicht erlaubt ist, müsste [mm] b_{n} [/mm] > x sein. Somit ist das Ergebnis des Quotienten [mm] \bruch{x}{b_{n}} [/mm] < [mm] b_{n}
[/mm]
Das [mm] \bruch{x}{b_{n}} \le b_{n} [/mm] kann ich mir nicht erklären.
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> > An welcher Stelle hast Du denn die Induktionsvoraussetzung
> verwendet.
>
> A(n+1) := $ [mm]b_{n+1} =\bruch{1}{2}(b_{n} +\bruch{x}{b{n}})[/mm] +
> (n+1) > 0 , Aussage ist wahr, da x [mm]\in \IR[/mm] , x > 0:n [mm]\in \IN[/mm]
> , n [mm]\ge[/mm] > 1
>
> Meintest du mit Induktionssvoraussetzung das Ergänzen von
> (n+1)? Wenn ja, reicht das so als Beweis?
Hallo,
wo kommt denn das n+1 plötzlich her?
Es ist doch nicht [mm] b_{n+1} =\bruch{1}{2}(b_{n} +\bruch{x}{b{n}})[/mm] [/mm] + (n+1) ?
Du machst da doch gerade eine Induktion um zu zeigen, daß [mm] b_n> [/mm] 0 ist, oder?
Wie lautet hier die Induktionsvoraussetzung?
> > > Leider weiß ich nicht, wie ich damit die Gültigkeit von
> > > [mm]b_{n}² \ge[/mm] x bestimmen soll.
> >
> > Versuche auch hier eine Induktion. Wie weit bist Du denn
> > gekommen?
>
> Habe damit nicht angefangen, da ich nicht weiß, mit welcher
> Gleichung ich hier die Induktion durchführen soll.
???
Mach bitte erst weiter, wenn Du durchgearbeitet hast, wie Induktion geht.
zu zeigen: [mm]b_{n}² \ge[/mm] x
I.A. n=1: gilt die Aussage für n=1?
Induktionsvoraussetzung: [mm]b_{n}² \ge[/mm] x gelte für ein n.
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1:
zu zeigen: dann ist [mm]b_{n+1}² \ge[/mm] x
Beweis:
es ist [mm] b_{n+1}²= (....)^2 [/mm] = ... usw [mm] \le [/mm] x.
>
>
> > > A(n+1) := [mm]b_{n+1} =\overbrace{\bruch{1}{2}(b_{n} + \overbrace{\bruch{x}{b_{n}}}^{< b_{n}})}^{\le b_{n}} \le b_{n}[/mm]
>
> >
> > Begründungsbedarf sehe ich dafür, daß [mm]\bruch{x}{b_{n}}\le b_n[/mm]
> > ist
>
> Da x in [mm]b_{n}[/mm] enthalten ist
Enthalten? [mm] b_n [/mm] ist doch keine Menge.
> [mm]b_{n}[/mm] nicht 0 sein kann, da
> Division durch 0 nicht erlaubt ist,
Trotzdem könnte irgendein Depp ja die Folge sodefiniert haben. Allerdings hast Du ja in a) gezeigt, daß [mm] b_n>0 [/mm] ist.
> müsste [mm]b_{n}[/mm] > x sein.
Das stimmt auch nicht.
Wähle ich x=5,
so ist [mm] b_1=6
[/mm]
[mm] b_2=3,41 [/mm] <5
b-3=2.44 <5 usw.
> Somit ist das Ergebnis des Quotienten [mm]\bruch{x}{b_{n}}[/mm] <
> [mm]b_{n}[/mm]
> Das [mm]\bruch{x}{b_{n}} \le b_{n}[/mm] kann ich mir nicht
> erklären.
Bedenke, daß Du aus a) verwenden kannst, daß [mm] b^2>x [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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a)
zu zeigen: für alle n [mm] \in \IN b_{n} [/mm] > 0
1) [mm] b_{1} [/mm] = x+1 > 0 , da x > 0 ist die Aussage für n = 1 wahr
[mm] 2)b_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(b_{k} [/mm] + [mm] \bruch{x}{b_{k}}) [/mm] | [mm] *b_{k}
[/mm]
[mm] \bruch{b_{k}² + x}{2} [/mm] > 0 , da x > 0 und [mm] b_{k}² [/mm] > 0 ist die Aussage wahr
Somit wurde bewiesen, dass für alle n [mm] \in \IN b_{n} [/mm] > 0 gilt.
Wenn man nun [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{k+1} [/mm] quadriert, sieht man sofort, dass [mm] b_{n}² \ge [/mm] x gilt.
Zur besseren ÜBersichtlichkeit, habe ich zunächst eine Aufgabe bearbeitet. Ich hoffe, dass das jetzt richtig ist :)
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a)
zu zeigen: für alle n [mm] \in \IN b_{n} [/mm] > 0
1) [mm] b_{1} [/mm] = x+1 > 0 , da x > 0 ist die Aussage für n = 1 wahr
[mm] 2)b_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(b_{k} [/mm] + [mm] \bruch{x}{b_{k}}) [/mm] // erweitern mit [mm] *b_{k}
[/mm]
[mm] \bruch{b_{k}² + x}{2} [/mm] > 0 , da x > 0 und [mm] b_{k}² [/mm] > 0 ist die Aussage wahr
Somit wurde bewiesen, dass für alle n [mm] \in \IN b_{n} [/mm] > 0 gilt.
Wenn man nun [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{k+1} [/mm] quadriert, sieht man sofort, dass [mm] b_{n}² \ge [/mm] x gilt.
Zur besseren ÜBersichtlichkeit, habe ich zunächst eine Aufgabe bearbeitet. Ich hoffe, dass dasjetzt richtig ist :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 26.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> a)
>
> zu zeigen: für alle n [mm]\in \IN b_{n}[/mm] > 0
>
> 1) [mm]b_{1}[/mm] = x+1 > 0 , da x > 0 ist die Aussage für n = 1
> wahr
>
> [mm]2)b_{k+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(b_{k}[/mm] + [mm]\bruch{x}{b_{k}})[/mm] |
> [mm]*b_{k}[/mm]
Hallo,
wenn Du mit [mm] b_k [/mm] multiplizierst, hast Du links [mm] b_{k+1}b_k, [/mm] worüber Du auch noch nachdenken müßtest.
Mach es lieber so:
[mm] b_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2b_k}(b_{k}^2 [/mm] + x)
> [mm]\bruch{b_{k}² + x}{2}[/mm] > 0 , da x > 0 und [mm]b_{k}²[/mm] > 0 ist
> die Aussage wahr
Es fehlt ein ganz wesentliches Element: daß nämlich [mm] b_k> [/mm] 0 ist. Sonst klappt das nicht.
Und warum ist das größer als 0? Das ist die Induktionsvoraussetzung!
>
> Somit wurde bewiesen, dass für alle n [mm]\in \IN b_{n}[/mm] > 0
> gilt.
>
> Wenn man nun [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{k+1}[/mm] quadriert, sieht man sofort,
> dass [mm]b_{n}² \ge[/mm] x gilt.
Wirklich sofort? Ich sehe das nicht sofort.
Gruß v. Angela
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