Hesse-Matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:41 Sa 25.06.2005 | | Autor: | bobby |
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:
Beweisen Sie, dass für f [mm] \in C^{2}(U), U\subset\IR^{n} [/mm] offen, und v [mm] \in \IR^{n} [/mm] gilt: [mm] \bruch{\partial^{2}}{ \partial v \partial v}f(x)=v^{T}H_{f}(x)v.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Bobby,
bitte beachte unsere Forenregeln. Wo genau liegt dein Problem? Kennst du die Definitionen? Wo kommst du nicht weiter?
Es wäre schön, wenn du uns ein paar Ansätze lieferst oder erklärst, wo du stecken bleibst.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 25.06.2005 | | Autor: | bobby |
Also ich habe die Formel für die Hesse-Matrix so wie sie in der Aufgabe steht kennengelernt, aber ich weis die Ansätze zur Herleitung nicht so richtig...
Brauche einen Tipp/Ansatz für den Beweis...
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Hallo Bobby,
die Aufgabenstellung ist nicht ganz klar, da es zu einer Funktion immer Definitionsbereich und Wertebereich gehören. Aber ich nehme mal an, die Aufgabe lautet:
Beweisen Sie, dass für f : U [mm] \to \IR, [/mm] f $ [mm] \in C^{2}(U), U\subset\IR^{n} [/mm] $ offen, und v $ [mm] \in \IR^{n}, [/mm] ||v|| = 1 $ gilt: $ [mm] \bruch{\partial^{2}}{ \partial v \partial v}f(x)=v^{T}H_{f}(x)v. [/mm] $
Erstmal ein Paar Def.:
[mm] \bruch{\partial}{ \partial v}f(x) [/mm] = Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung v mit ||v|| = 1.
f is stetig differenzierbar, dann gilt für die Richtungsableitung (Satz): [mm] \bruch{\partial}{ \partial v}f(x) [/mm] = <v, grad(f(x))> = [mm] v^T\cdot [/mm] grad(f(x)) = (*).
grad(f(x)) := [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial}{ \partial x_i}f(x)e_i [/mm] = ... , wobei [mm] e_i [/mm] die i-te Einheitsvektor ist.
Lösung:
Man setze die Def. von grad(f(x)) in (*) ein, dann liefert das Skalarprodukt eine differenzierbare Funktion von U [mm] \to \IR, [/mm] U offen. Wende die beschriebene Prozedur auf diese Funktion an, dann kriegst du einen Ausdruck mit einer doppelten Summe. Diese Doppelte Summe entspricht der Hesse-Matrix ...
Das wäre mein Ansatz für das gegebene Problem.
Solltest du nicht weiterkommen, dann schreib deine Lösung damit wir daran arbeiten können.
schöne grüsse,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Di 28.06.2005 | | Autor: | bobby |
Also, ich habe das jetzt versucht so zu zeigen, vielleicht kann mir jemand sagen ob das richtig ist, oder halt verbessern.
[mm] \bruch{\partial}{\partial v}f(x)=v^{T}\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_{i}
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] \bruch{\partial^{2}}{\partial v \partial v}f(x) [/mm] = [mm] v^{T} \summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}e_{i} \summe_{j=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{j}}e_{j} [/mm] v = [mm] v^{T} \summe_{i,j=1}{n}\bruch{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}f(x)e_{i,j} [/mm] v = [mm] v^{T} H_{f}(x) [/mm] v
Ich glaube irgendwas stimmt da noch nicht so richtig, weis aber nicht was...
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Hallo Bobby,
nach den Überlegungen in meiner vorigen Antwort sollte die Antwort richtig sein. Du hast die Formel eingesetzt und gerechnet.
[mm] \bruch{\partial}{\partial v}f(x)==v^{T}(\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_{i}).
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2}}{\partial v \partial v}f(x) [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] v^{T}(\summe_{j=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{j}}(v^T \summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_i)e_{j}) [/mm] = [mm] v^{T}(\summe_{j=1}^{n}(v^T \bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_i)e_{j}) [/mm] = [mm] v^{T}(\summe_{j=1}^{n}(v^T \summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{j}}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_i)e_{j}) [/mm] = [mm] v^{T}(\summe_{j=1}^{n}v^T(\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{j}}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_i)e_{j}) [/mm] = [mm] v^{T}( v^T \underbrace{\summe_{j=1}^{n}\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{j}}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}f(x)e_ie_{j}}_{=Hess(f(x))}) [/mm] = [mm] v^T(v^T H_f) =v^T (H_f [/mm] v) = [mm] v^T H_f [/mm] v [mm] \Box
[/mm]
gruss,
logarithmus
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