Hesse-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Di 02.07.2013 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend!
Ich hab momentan partielle Ableitungen und ihre Extremstellen, die man ja mit der Hesse-Matrix bestimmen kann..aber iwie kann ich das noch nicht ganz verstehen..
An folgender Aufgabe bin ich dran:
f(x,y)= [mm] 2x^2+2xy+y^2-56x-32y+32
[/mm]
Davon soll ich Minima und Extrema bestimmen... Also hab ich zunächst die Ableitungen gebildet:
gradf(x,y)= [mm] \pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
Dann hab ich jeweils die Gleichungen jeweils gleich 0 gesetzt:
4x+2y-56 = 0
2x+2y-32 = 0
umgetellt und ausgerechnet bekomme ich für y=4 und für x=12.
Was sagt mir das..??
Nun die Hessmatrix:
Die wird ja auch durch die jeweiligen Ableitungen gebildet
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 4 \\ 2 }
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 2\\ 2 }
[/mm]
HessMatrix dann : [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 2 }
[/mm]
Was davon muss > oder < 0 sein, um eine richtige Aussagen zu machen?
Ich versteh nicht so ganz, wie ich das benutzen soll...
Könnte mir bitte jmd helfen?
LG zitrone
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Hi,
> Guten Abend!
>
> Ich hab momentan partielle Ableitungen und ihre
> Extremstellen, die man ja mit der Hess-Matrix bestimmen
> kann..aber iwie kann ich das noch nicht ganz verstehen..
>
> An folgender Aufgabe bin ich dran:
>
> f(x,y)= [mm]2x^2+2xy+y^2-56x-32y+32[/mm]
>
> Davon soll ich Minima und Extrema bestimmen... Also hab ich
> zunächst die Ableitungen gebildet:
Du meinst wohl Minima und Maxima. Denn [mm] Extrema=\{Minima, Maxima\} [/mm] ;)
>
> gradf(x,y)= [mm]\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Dann hab ich jeweils die Gleichungen jeweils gleich 0
> gesetzt:
> 4x+2y-56 = 0
> 2x+2y-32 = 0
>
> umgetellt und ausgerechnet bekomme ich für y=4 und für
> x=12.
>
> Was sagt mir das..??
Die Lösungen von grad(f)=0 sind sogenannte kritische Punkte. Dort, und nur dort, können Extremstellen sein. Diese Bedigungen ist also notwendig, aber keinesfalls hinreichend. Man muss daher noch weitere Untersuchungen vornehmen.
>
> Nun die Hessmatrix:
>
> Die wird ja auch durch die jeweiligen Ableitungen gebildet
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 4 \\ 2 }[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 2\\ 2 }[/mm]
>
> HessMatrix dann : [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 2 }[/mm]
>
> Was davon muss > oder < 0 sein, um eine richtige Aussagen
> zu machen?
Du musst die Definitheit dieser Matrix untersuchen. Da hilft gewiss noch einmal ein Blick in den Lineare ALgebra Hefter. Es gibt dafür verschiedene Kriterien, um die Definitheit festzustellen. Generell gilt dann:
Ist die Matrix positiv definit => lokales Minimum
Ist die Matrix negativ definit => lokales Maximum
Ist die Matrix indefinit => Sattelpunkt.
Deine Matrix ist positiv definit (Alle Eigenwerte sind größer als Null). Daher ist an deiner betrachteten Stelle ein Minimum.
> Ich versteh nicht so ganz, wie ich das benutzen soll...
>
> Könnte mir bitte jmd helfen?
Ich hoffe, dass ich das konnte.
>
> LG zitrone
P.S. das ganze hat eigentlich nix mit PDGL zu tun ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Di 02.07.2013 | | Autor: | zitrone |
Danke!:)
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