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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 21.12.2014 | | Autor: | emperor |
| Aufgabe | Gegeben sei die Ebene im [mm] \IR^3:
[/mm]
[mm] E=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\lambda\vektor{-2 \\ 3 \\ 5}+\mu\vektor{0 \\ -1 \\ 3}|\lambda,\mu\in\IR
[/mm]
a) Berechnen Sie die Hesse-Normalform von E
b) Berechnen Sie den Abstand von E zu dem Punkt P=(2,5,-3).
c) Geben Sie eine Ebene in Parameter- und Hesse-Normalforum an, die parallel zu E ist und den Punkt P enthält |
Guten Abend,
ich habe die ersten beiden schon beantwortet aber ich weiß nicht wie ich die c) angehen soll.
a) Hesse-Normalform: [mm] \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=0 [/mm] wobei [mm] \vec{n}=\frac{1}{||\vec{v}\times\vec{w}||}\vec{v}\times\vec{w}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{n}=\frac{1}{\sqrt{236}}\vektor{14 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow E:=\frac{1}{\sqrt{236}}\vektor{14 \\ 6 \\ 2}\cdot [\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}]=0
[/mm]
b) Abstand von E zu P
[mm] \frac{1}{\sqrt{236}}\vektor{14 \\ 6 \\ 2}\cdot [\vektor{2 \\5 \\ -3}-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}]=\frac{14}{\sqrt{236}}+\frac{18}{\sqrt{236}}-\frac{12}{\sqrt{236}}=\frac{20}{\sqrt{236}}
[/mm]
c) ?
Danke schonmal.
Gruß
Emperor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 So 21.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ersetze den Stützvektor von E durch [mm] $\vec [/mm] OP$. Dan hat die so entstandene Ebene denselben Normalenvektor, liegt also parallel zu E und beinhaltet ferner den Punkt P.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 21.12.2014 | | Autor: | emperor |
Vielen Dank!
Meine anderen Berechnungen stimmen so?
Zu c)
In Hesse-Normalenform:
$ [mm] \Rightarrow E_\parallel:=\frac{1}{\sqrt{236}}\vektor{14 \\ 6 \\ 2}\cdot [\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{2 \\ 5 \\ -3}]=0 [/mm] $
In Parameterform:
[mm] E_\parallel=$ E=\vektor{2 \\ 5 \\ -3}+\lambda\vektor{-2 \\ 3 \\ 5}+\mu\vektor{0 \\ -1 \\ 3}|\lambda,\mu\in\IR [/mm] $
Stimmt das so oder habe ich das falsch verstanden?
Gruß
Emperor
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Hallo emperor,
> Vielen Dank!
>
> Meine anderen Berechnungen stimmen so?
>
Ja.
Beim Normalenvektor kannst Du noch etwas kürzen.
> Zu c)
>
> In Hesse-Normalenform:
>
> [mm]\Rightarrow E_\parallel:=\frac{1}{\sqrt{236}}\vektor{14 \\ 6 \\ 2}\cdot [\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{2 \\ 5 \\ -3}]=0[/mm]
>
> In Parameterform:
>
> [mm]E_\parallel=[/mm] [mm]E=\vektor{2 \\ 5 \\ -3}+\lambda\vektor{-2 \\ 3 \\ 5}+\mu\vektor{0 \\ -1 \\ 3}|\lambda,\mu\in\IR[/mm]
>
> Stimmt das so oder habe ich das falsch verstanden?
>
Das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß
>
> Emperor
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 So 21.12.2014 | | Autor: | emperor |
Super. Vielen Dank für die nette Hilfe.
Gruß
Emperor
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