Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Man bestimme sämtliche lokale Extrema der Funktion f(x,y):=sin(x) sin(y) |
Guten Nachmittag!
Hab Probleme mit der Hessematrix bei dieser Aufgabe. hab als zuerst die partiellen ableitungen bestimmt:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = cos(x) sin(y)
[mm] \bruch{df}{dy}= [/mm] sin(x) cos(y)
und um die extrema zu berechnen beide 0 gesetzt:
cos(x) sin(y) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] cos(x)=0 v sin(y) = 0
sin(x) cos(y) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] sin(x) = 0 v cos(y) = 0
sin(x) wird ja null für x= k [mm] \pi [/mm] (k [mm] \in [/mm] Z), cos(x)=0 für x= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k\pi
[/mm]
die zweiten ableitungen:
[mm] \bruch{d²f}{(dx)²}= [/mm] - sin(x) sin(y)
[mm] \bruch{d²f}{(dy)²}= [/mm] - sin(x) sin(y)
[mm] \bruch{d²f}{dydx}= [/mm] cos(x) cos(y)
dann bekomm ich ja 2 hessematrizen, oder?
also für x=y= k [mm] \pi:
[/mm]
[mm] M_1= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
und hier versteh ich nicht ob es+1 oder -1 heißen muss, da der [mm] cos(k\pi) [/mm] ja + oder - sein kann??
außerdem ist meine erste unterdeterminante ja = 0, und dann ist die matrix ja auf jeden fall semidefinit, aber unser prof meinte die aufgabe wäre eindeutig lösbar??
entsprechendes problem bei x=y= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + k [mm] \pi [/mm] , sin an der stelle kann doch auch + oder - 1 sein, oder???
hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!!
viele grüße
riley
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Hallo riley,
> Man bestimme sämtliche lokale Extrema der Funktion
> f(x,y):=sin(x) sin(y)
> Guten Nachmittag!
> Hab Probleme mit der Hessematrix bei dieser Aufgabe. hab
> als zuerst die partiellen ableitungen bestimmt:
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = cos(x) sin(y)
> [mm]\bruch{df}{dy}=[/mm] sin(x) cos(y)
> und um die extrema zu berechnen beide 0 gesetzt:
> cos(x) sin(y) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] cos(x)=0 v sin(y) = 0
> sin(x) cos(y) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] sin(x) = 0 v cos(y) = 0
>
> sin(x) wird ja null für x= k [mm]\pi[/mm] (k [mm]\in[/mm] Z), cos(x)=0 für x=
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k\pi[/mm]
>
> die zweiten ableitungen:
> [mm]\bruch{d²f}{(dx)²}=[/mm] - sin(x) sin(y)
> [mm]\bruch{d²f}{(dy)²}=[/mm] - sin(x) sin(y)
> [mm]\bruch{d²f}{dydx}=[/mm] cos(x) cos(y)
>
> dann bekomm ich ja 2 hessematrizen, oder?
> also für x=y= k [mm]\pi:[/mm]
>
> [mm]M_1= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> und hier versteh ich nicht ob es+1 oder -1 heißen muss, da
> der [mm]cos(k\pi)[/mm] ja + oder - sein kann??
> außerdem ist meine erste unterdeterminante ja = 0, und
> dann ist die matrix ja auf jeden fall semidefinit, aber
> unser prof meinte die aufgabe wäre eindeutig lösbar??
>
> entsprechendes problem bei x=y= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + k [mm]\pi[/mm] ,
> sin an der stelle kann doch auch + oder - 1 sein, oder???
>
> hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!!
ich glaube, bei dir liegt ein grundlegendes verständnisproblem bei der hesse-matrix vor ....  die hesse-matrix ist eine abbildung und keine Konstante, natürlich hat sie in verschiedenen Punkten verschiedene Werte. du musst halt jetzt prüfen, in welchen Punkten definitheit vorliegt und in welchen nicht.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
danke für deine antwort!! kannst du mir bitte helfen das ganz richtig zu verstehen?
ich hab gedacht, wenn ich die ersten partiellen ableitungen null gesetzt hab, dann muss ich diese werte in die hesse-matrix der 2.abl. einsetzen und diese matrix dann auf definitheit untersuchen.....??
also für die matrix ohne eingesetzte werte, hab ich das hier:
[mm] \pmat{ -sin(x)sin(y) & cos(x)cos(y) \\ cos(x)cos(y) & -sin(x)sin(y) }
[/mm]
und du hast gemeint, dass ich jetzt schauen muss, wann
-sin(x)sin(y) > 0 und -sin²(x)sin²(y) - cos²(x)cos²(y) > 0 ist?
das sieht aber nicht so einfach aus...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:43 So 18.06.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi Matthias!
> danke für deine antwort!! kannst du mir bitte helfen das
> ganz richtig zu verstehen?
> ich hab gedacht, wenn ich die ersten partiellen
> ableitungen null gesetzt hab, dann muss ich diese werte in
> die hesse-matrix der 2.abl. einsetzen und diese matrix dann
> auf definitheit untersuchen.....??
>
> also für die matrix ohne eingesetzte werte, hab ich das
> hier:
> [mm]\pmat{ -sin(x)sin(y) & cos(x)cos(y) \\ cos(x)cos(y) & -sin(x)sin(y) }[/mm]
>
> und du hast gemeint, dass ich jetzt schauen muss, wann
> -sin(x)sin(y) > 0 und -sin²(x)sin²(y) - cos²(x)cos²(y) > 0
> ist?
> das sieht aber nicht so einfach aus...
>
Zunächst erstellst du mit den 2. Ableitungen die Hessematrix. Dieses ist wie schon gesagt wurde eine Abbildung, die dir zu jedem Punkt eine Matrix liefert. Man sagt auch die Hessemtraix wird im Punkt (p,q) z.B. ausgewertet und deutet das mit einem kleinen strich an der Seite an, ähnlich wie man bei der Integration an die Stammfunktion die Grenzen schreibt.
Man wertet die Hessematrix dann so aus, dass man einfach für x und y die werte p bzw. q einsetzt und dann hat man eine Matrix von Zahlen, wo man wunderbar die (Unter-)Determinanten berechnen kann und die Definitheit (lokale Eigenschaft!) überprüfen kann.
Du hast hier 4 Punkte berechnet gehabt (also eigentlich mehr, aber wegen der Perioditität begnügen wir uns zur Untersuchung erstmal mit einer Periode in jeder Richtung). Dann also
$(0,0)$,$(0, [mm] \pi/2)$, $(\pi [/mm] / 2,0)$ und [mm] $(\pi [/mm] / 2, [mm] \pi [/mm] / 2)$ jeweils einsetzen. Dann schauste, das da für 4 Matrizen rauskommen und kannst dann da jeweils zu den Punkten die Definitheit überprüfen.
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Micha!! ;)
danke für deine erklärung!
ich versteh nur noch nicht ganz, wie du genau auf diese vier punkte kommst?
also für den punkt (0,0) hab ich nun diese matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
für (0, [mm] \frac{\pi}{2}): \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
für [mm] (\frac{\pi}{2},0 [/mm] ): [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
für [mm] (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}): \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
und dann ist nur die letzte matrix positiv definit, d.h. minimum bei [mm] (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) [/mm] oder muss ich das dann wieder mit k mal schreiben'?
viele grüße & danke
riley
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Hallo Riley,
Mit 2 von den Punkten hat sich Micha wohl vertan. Du solltest sie alle nochmal in die Bedingung gradf=0
einsetzen.
Finden der Nullstellen:
1. ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren Null ist
2. sin und cos haben nie gleichzeitig Nullstellen
Und die Periodizität der Funktion ist sicher abgedeckt wenn Du Dich auf das Intervall [mm] [0,2\pi]x[0,2\pi] [/mm] beschränkst.
> also für den punkt (0,0) hab ich nun diese matrix:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> für (0, [mm]\frac{\pi}{2}): \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> für [mm](\frac{\pi}{2},0[/mm] ): [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> für [mm](\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}): \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> und dann ist nur die letzte matrix positiv definit, d.h.
> minimum bei [mm](\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/mm] oder muss ich
> das dann wieder mit k mal schreiben'?
Da ist schonmal ein Minimum und in (0,0) keins.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
Vielen dank für deine hilfe! 
also ich habs jetzt doch mal versucht allgemein zu machen
[mm] HesseM(k\pi,z\pi) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & +/-1 \\ +/-1 & 0 }
[/mm]
-> indefinit für +1 und -1
und M ( [mm] \pi/2 [/mm] + [mm] k\pi, \pi/2 [/mm] + z [mm] \pi) [/mm] = [mm] \pmat{ +/-1 & 0 \\ 0 & +/-1 }
[/mm]
indefinit für -1 und positiv definit für 1. d.h. min.
und die positiven 1er in der matrix bekomm ich wenn sin(y)sin(x)<0,d.h. wenn z.B. sin(y) <0, also bei [mm] (\pi/2 [/mm] + [mm] 2\pik [/mm] , [mm] 3\pi/2 [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] z) kommt das hin??
viele grüße
riley
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HAllo Riley,
Das hätt ich auch aber ohne Gewähr
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Riley |
na wenn du das sagst, stimmt das!!
vielen dank dass du mir geholfen hast!
gruß riley ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 16.06.2006 | | Autor: | ardik |
> und hier versteh ich nicht ob es+1 oder -1 heißen muss, da
> der [mm]cos(k\pi)[/mm] ja + oder - sein kann??
Aber er wird ja mit sich selbst multipliziert.
Schöne Grüße,
ardik
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