Hessesche Normalenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Forumfreunde,
ich schreibe Dienstag , 19.05.2009, einen Mathetest über die Hesssiche Normalenform.
Kann mir jemand die Hessische Normalenform anhand dieses Beispiels erklären:
Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide mit der Spitze S.
Berechnen Sie den Abstand des Punktes B von der Seitenfläche 0AS.
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 17.05.2009 | | Autor: | moody |
Hallo Hasan,
als erstes stellst du die Normalenform der Ebene 0AS auf. Das geht über die 3 Punkteform der Ebene:
$ E: [mm] \; \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\lambda\, \vektor{4 \\ 0 \\ 0}+\mu\, \vektor{2 \\ 2 \\ 5};\; \lambda, \mu \in \mathbb{R} [/mm] $
Dann bildest du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, das ist ein Normalenvektor der Ebene.
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} \times \vektor{2 \\ 2 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -20 \\ 8}
[/mm]
[mm] n_{0} [/mm] = Normaleneinheitsvektor = [mm] \bruch{n}{|n|} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{\wurzel{0^2 + 20^2 + 8^2}} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{21.5}
[/mm]
Man kann auch schreiben: [mm] \bruch{1
}{21.5} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -20 \\ 8} [/mm] = [mm] n_{0}
[/mm]
Hessesche Normalenform
d(B;E) = [mm] |(\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{x_{1}}) [/mm] * [mm] \bruch{1
}{21.5} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -20 \\ 8} [/mm] = [mm] n_{0}|
[/mm]
d(B;E) = Abstand B zur Ebene
[mm] \vec{x_{1}} [/mm] = Zugangsvektor der Ebene
[mm] \vec{x} [/mm] = Punkt B
einsetzen:
d(B;E) = [mm] |(\vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}) [/mm] * [mm] \bruch{1
}{21.5} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -20 \\ 8}|
[/mm]
d(B;E) = [mm] |\bruch{\vektor{4 \\ 4 \\ 0} * \vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{21.5}|
[/mm]
d(B;E) = [mm] |\bruch{\vektor{4 \\ 4 \\ 0} * \vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{21.5}|
[/mm]
$d(B;E) = [mm] |\bruch{-80}{21.5}$|
[/mm]
$d(B;E) = 3.72$
Aber so ist die Vorgehensweise.
1 3 Punkteform der Ebene
2 Kreuzprodukt für einen Normalenvektor
3 Normalenform der Ebene
4 Normaleneinheitsvektor bestimmen
5 HNF aufstellen
6 einsetzen
lg moody
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:52 So 17.05.2009 | | Autor: | mathemak |
> Hallo Hasan,
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> als erstes stellst du die Normalenform der Ebene 0AS auf.
> Das geht über die 3 Punkteform der Ebene:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{4 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 2 \\ 5}[/mm]
Hier bitte gleich die richtige Schreibweise, sonst gibt's Punktabzug in der Klausur:
[mm]E: \; \vec{x} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\lambda\, \vektor{4 \\ 0 \\ 0}+\mu\, \vektor{2 \\ 2 \\ 5};\; \lambda, \mu \in \mathbb{R}[/mm]
oder leichter:
[mm]E: \; \vec{x} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\lambda\, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 2 \\ 5};\; \lambda, \mu \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Dann bildest du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, das
> ist ein Normalenvektor der Ebene.
>
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 0} \times \vektor{2 \\ 2 \\ 5}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ -20 \\ 8}[/mm]
>
[mm] >n_{0}[/mm] [/mm] = Normaleneinheitsvektor = [mm]\bruch{n}{|n|}[/mm] =
> [mm]\bruch{\vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{\wurzel{0^2 + 20^2 + 8^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{21.5}[/mm]
[mm] \vec{n}_0 = \bruch{\vec{n}}{| \vec{n}|} = \bruch{\vektor{0 \\ -20 \\ 8} }{\sqrt{464}} = \bruch{4}{29}\,\sqrt{29} \,\vektor{0 \\ - 20 \\ 8 } = \frac{\sqrt{29}}{29}\,\vektor{0 \\ - 5 \\ 2 } [/mm]
>
> Man kann auch schreiben: [mm]\bruch{1
}{21.5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ -20 \\ 8}[/mm] = [mm]n_{0}[/mm]
>
> Hessesche Normalenform
>
> d(B;E) = [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{x_{1}})[/mm] * [mm]\bruch{1
}{21.5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ -20 \\ 8}[/mm] = [mm]n_{0}[/mm]
>
> d(B;E) = Abstand B zur Ebene
> [mm]\vec{x_{1}}[/mm] = Zugangsvektor der Ebene
> [mm]\vec{x}[/mm] = Punkt B
>
> einsetzen:
>
> d(B;E) = [mm](\vektor{4 \\ 4 \\ 0}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0})[/mm] *
> [mm]\bruch{1
}{21.5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ -20 \\ 8}[/mm]
>
> d(B;E) = [mm]\bruch{\vektor{4 \\ 4 \\ 0} * \vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{21.5}[/mm]
>
> d(B;E) = [mm]\bruch{\vektor{4 \\ 4 \\ 0} * \vektor{0 \\ -20 \\ 8}
}{21.5}[/mm]
>
> [mm]d(B;E) = \bruch{-80}{21.5}[/mm]
>
> [mm]d(B;E) = -3.72[/mm]
>
> Mmmh warum das jetzt negativ ist weiß ich auch nicht,
> anscheinend habe ich mich verrechnet, ich lass es daher mal
> halb offen.
>
Betragstriche bei der Abstandsberechnung!!! Aus dem negativen Ergebnis folgt, dass der Punkt B auf derselben Seite wie der Ursprung liegt (bezüglcih der Ebene $E$).
> Aber so ist die Vorgehensweise.
>
> 1 3 Punkteform der Ebene
>
> 2 Kreuzprodukt für einen Normalenvektor
>
> 3 Normalenform der Ebene
>
> 4 Normaleneinheitsvektor bestimmen
>
> 5 HNF aufstellen
>
> 6 einsetzen
mit Betragstrichen! Kontrollergebnis: [mm] $\bruch{20}{29}\,\sqrt{29}$. [/mm]
Noch eines: Hessesche Normalform mit e. Hat nichts mit Hessen zu tun, sondern eher mit Ludwig Otto Hesse.
Mathemak
>
> lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 So 17.05.2009 | | Autor: | moody |
Hallo mathemak,
danke für deine Korrektur. Mit den Betragsstrichen passt es dann auch.
lg moody
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Hallo und vielen Dank für die angebotene Hilfe.
eine Frage habe ich noch> d(B;E) = Abstand B zur Ebene
> [mm]\vec{x_{1}}[/mm] = Zugangsvektor der Ebene
Wie bestimmt man den Zugangsvektor der Ebene?oder ist das einfach nur der Ursprungsvektor,wofür man ja gar nicht rechnen muss? das ist mir noch unklar,sonst bin ich ziemlich gut vorbereiet für den Test.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
> [mm]\vec{x}[/mm] = Punkt B
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Hallo plutino99,
> Hallo und vielen Dank für die angebotene Hilfe.
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> eine Frage habe ich noch> d(B;E) = Abstand B zur Ebene
> > [mm]\vec{x_{1}}[/mm] = Zugangsvektor der Ebene
> Wie bestimmt man den Zugangsvektor der Ebene?oder ist das
> einfach nur der Ursprungsvektor,wofür man ja gar nicht
> rechnen muss? das ist mir noch unklar,sonst bin ich
> ziemlich gut vorbereiet für den Test.
Hier ist das der Ursprung.
Ist eine Ebene ist Parameterform gegeben:
[mm]E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\alpha*\overrightarrow{b}+\beta*\overrightarrow{c}[/mm]
Dann ist [mm]\overrightarrow{a}[/mm] der Zugangsvektor.
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
>
> > [mm]\vec{x}[/mm] = Punkt B
>
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mo 18.05.2009 | | Autor: | moody |
Gegeben: [mm] \vec{a} [/mm]
[mm] \vec{b} [/mm]
[mm] \vec{c}
[/mm]
3 Punkteform der Ebenengleichung: E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\vec{b}-\vec{a}) [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] (\vec{c}-\vec{a})
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = Zugangsvektor
lg moody
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