Hessesche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Sa 05.05.2007 | | Autor: | sazo |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich muss ein Referat über die Hessesche Normalform halten, was sich eigentlich nicht so schlimm anhört. Mit der Hesseschen Normalform bestimmt man ja den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebenen mithilfe des Standardskalarprodukts.
Ich soll mir jetzt überlegen, wie die Hessesche Normalform aussieht, wenn man anstelle des Standardskalarprodukts ein anderes Skalarprodukt benutzt,
z.B. [mm] =\bruch{x1*y1}{a^2}+\bruch{x2*y2}{b^2}
[/mm]
Irgendwas hat das ganze auch mit Ellipsen zu tun. Das Skalarprodukt von oben hat nämlich fast die gleiche Form wie die Tangentengleichung der Ellipse. Der Zusammenhang ist mir aber nicht so ganz klar.
Ich habe auch leider keine Ahnung, wie man die Hessesche Normalform mit dem obigen Skalarprodukt aufstellt und dann den Abstand berechnet.
Ich würde mich über jeden Tipp freuen.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 So 13.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> ich muss ein Referat über die Hessesche Normalform halten,
> was sich eigentlich nicht so schlimm anhört. Mit der
> Hesseschen Normalform bestimmt man ja den Abstand zwischen
> einem Punkt und einer Ebenen mithilfe des
> Standardskalarprodukts.
> Ich soll mir jetzt überlegen, wie die Hessesche Normalform
> aussieht, wenn man anstelle des Standardskalarprodukts ein
> anderes Skalarprodukt benutzt,
> z.B. [mm]=\bruch{x1*y1}{a^2}+\bruch{x2*y2}{b^2}[/mm]
> Irgendwas hat das ganze auch mit Ellipsen zu tun.
Das ist ein Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^2$, [/mm] aber nicht auf dem [mm] $\IR^3$.
[/mm]
> Das
> Skalarprodukt von oben hat nämlich fast die gleiche Form
> wie die Tangentengleichung der Ellipse. Der Zusammenhang
> ist mir aber nicht so ganz klar.
> Ich habe auch leider keine Ahnung, wie man die Hessesche
> Normalform mit dem obigen Skalarprodukt aufstellt und dann
> den Abstand berechnet.
Wie stellst du denn sonst die Hessesche Normalform auf? Du nimmst doch einen normierten (bzgl. dem Standardskalarprodukt) Vektor $a$, der orthogonal (bzgl. dem Standardskalarprodukt) auf der Ebene steht, und nimmst einen Punkt $v$ der Ebene, und dann ist die Ebene durch [mm] $\{ x \in \IR^3 \mid \langle a, x \rangle = c \}$ [/mm] gegeben, wobei $c := [mm] \langle [/mm] a, v [mm] \rangle$ [/mm] ist.
Wenn du jetzt das Standardskalarprodukt durch ein beliebiges ersetzt, musst du halt beim Suchen des orthogonalen Vektors anders vorgehen (also mit dem anderen Skalarprodukt).
Und du musst halt auch beachten, dass dir das neue Skalarprodukt auch eine ganz andere Norm auf dem Vektorraum liefert. Der Abstand, den die Hessesche Normalform mit dem anderen Skalarprodukt berechnet, ist damit auch anders zu interpretieren.
Nehmen wir mal deine Ellipsennorm von oben, und betrachten Hyperebenen im [mm] $\IR^2$ [/mm] (das sind dann Geraden). Die Norm eines Punktes $(x, y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist dann [mm] $\sqrt{(x/a)^2 + (y/b)^2}$: [/mm] die Punkte mit Abstand 1 zum Ursprung liegen also auf einer Ellipse.
Und wenn du den kuerzesten Abstand von einem Punkt $x$ zu einer Geraden $L$ bestimmen willst, legst du eine solche Ellipse um $x$ und vergroesserst sie so lange, bis sie $L$ beruehrt. Der Skalierungsfaktor ist dann der Abstand bzw. diesem Skalarprodukt.
Du schaust also sozusagen, wie gross du eine Ellipse (mit Zentrum $x$) mit diesem Seitenverhaeltnis ``aufblasen'' musst, bis die Gerade $L$ Tangente an der Ellipse ist.
Hilft dir das?
LG Felix
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