Hessesche Normalform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 08.04.2005 | | Autor: | lOuNaTiC |
Hallo!
Wir haben jetzt im Unterricht die Hessesche Normalform durchgenommen, mit der der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnet werden kann. Kann mir jemand erklären, warum dies so ist, also quasi ein Beweis dafür,dass die HNF gilt? Verstehe zwar die Lösungswege, wenn die HNF vorgegeben ist, jedoch nicht, wie man überhaupt darauf kommt..
Vielen Dank schonmal, lOuNaTiC
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo lOuNaTiC,
nun ja, die Hesse-Normalenform lautet ja $E: [mm] \left[ \vec{x}-\vec{p}\right]\bullet \vec{n}_0 [/mm] =0$.
Dabei entscheidet die Hesse-Normalform ja ob ein Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] Element der Ebene ist, in dem er überprüft, dass die Projektion des Differenzvektors [mm] $\vec{x}-\vec{p}$ [/mm] auf den Normalenvektor [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] 0 ist. Daraus folgt aber sofort, dass für alle anderen Vektoren [mm] $\vec{q}$, [/mm] die nicht in der Ebene liegen, der Ausdruck [mm] $\left[\vec{q}-\vec{p}\right]\bullet \vec{n}_0$ [/mm] die Projektion des Differenzvektors [mm] $\vec{q}-\vec{p}$ [/mm] auf den Normalenvektor ist. Wenn dieser sogar normiert ist, also wie in der Hesse-Normaleform [mm] $|\vec{n}_0|=1$, [/mm] dann gibt der obige Ausdruck direkt die Entfernung des Vektors [mm] $\vec{q}$ [/mm] zur Ebene an. Sieh doch noch mal im LS nach unter Hesse'sche Normalenform bzw. Abstand eines Punktes von einer Ebene, dort wirst du hoffentlich ein hübsches Bildchen finden, was meine Worte unterstützt.
Gruß Brackhaus
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