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| Aufgabe | Seien H ein reeller Hilbertraum nd C [mm] \subset [/mm] H eine abgeschlossene konvexe Menge. Definiere p:H->C als eine Projektion auf C, d.h. für jedes x [mm] \in [/mm] H ist p(x) der Punkt in C mit minimalen Abstand,
||x-p(x)||=inf{||x-y||:y [mm] \in [/mm] C}
zeigen sie, dass dann
a) <p(x)-y,p(x)-x> [mm] \le [/mm] 0 für alle y [mm] \in [/mm] C und daraus folgend
b)||p(x)-p(x')|| [mm] \le [/mm] ||x-x'||
Also die a) habe ich mittlerweile gezeigt.
Ich komme nur nicht darauf, warum gerade deshalb b) gelten muss.
Habt ihr einen Tipp für mich
Also für den fall, dass x, x' [mm] \in [/mm] C sind, dann gilt natürlich
||p(x)-p(x')|| = ||x-x'||
aber wie siehts mit den anderen aus? Irgendwie stehe ich auf dem schlauch.
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 03.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich komme nur nicht darauf, warum gerade deshalb b) gelten muss.
Benutze a), dann hast du die beiden Ungleichungen [mm] $\langle p(x)-p(x'),p(x)-x\rangle\le [/mm] 0$ und [mm] $\langle p(x')-p(x),p(x')-x\rangle\le [/mm] 0$. Jetzt wurschtel damit n bissl rum. Am Ende brauchst du nochmal Cauchy-Schwarz...
Gruß, Robert
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Alles Klar Robert,
Die aufgabe habe ich jetzt gelöst.
Besten Dank nochmal
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