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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Fr 26.09.2008 | | Autor: | nerif |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir Helfen, ich bin in der 10. Klasse... und erstmal vorweg:
Mir geht es nicht um die einfache Lösung der Aufgabe, denn an die Lösung zu kommen stellt nicht das Problem dar. Wir schreiben nächste Woche eine Arbeit und ich versteh nur Bahnhof. Einige Grundkenntnisse habe ich, nur wüsste ich nicht wie man bei solchen Aufgaben vorgehen muss. Wäre jemand so freundlich und würde mir jenes erklären ?
es geht um folgende Aufgabe
| Aufgabe 1 | Der Wasserstand h(m) bei Spiekeroog an der Nordseeküste schwankt zwischen 0m bei Niedrigwasser und etwa 3m bei Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t(in Std. nach Hochwasser) modellhaft beschreiben durch
[mm] h(t)=a+b*cos((\bruch{1}{6})*\pi*t)
[/mm]
a) Begründe, dass für die Paramter a und b gilt: a=b=1,5
b) Die Funktionsgleichung beschreib den Wasserstand unter der Annahme, dass zwölf Stunden zwischen zwei Niedrigwasserständen liegen. In der Realität sind es eher 12,5 Stunden. Wie kann man die Funktionsgleichung abändern, um diesen Umstand zu berücksichtigen. |
| Aufgabe 2 | Unter der astronomischen Sonnenscheindauer versteht man die Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang und Sonnernuntergang. Der 50. Breitengrad verläuft mitten durch die Bundesrepublik, z.B. durch Mainz. Für Orte auf ihm beträgt die astronomische Sonnenscheindauer ungefähr:
Datum: 22.6||22.7||22.8||22.9||22.10||22.11||22.12||22.1||22.2||22.3||22.4||22.5
Dauer: 16,2||15,4||13,8||12,0|||10,2|||8,6||||7,8|||8,7|||10,3||12,2||13,9||15,4
(h)
Begründe , dass die Funktion [mm] d(t)=4,2*cos((\bruch{1}{6})*\pi*t)+12;
[/mm]
t: Zeit in Monaten; t=0 entspricht dem 22.6.;
die astronomische Sonnenscheindauer auf dem 50. Breitengrad gut annäher. Bestimme die Sonnenscheindauer am 10. Juli |
Danke im vorraus
Liebe Grüße
Bitte so detailiert und einfach wie möglich  ;
Ich habe nun weiteren Unterricht, hoffe ihr helft mir. Hab zu Hause kein Internet und kann deshalb nur sporadisch mal reinschauen. Würde es mir dann nachher kopieren
Achja, da die Frage ziemlich wichtig ist und wir wie gesagt bald eine Klausur schreiben:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Sinus-Cosinus-10-Klasse-Trigonometrie
ich hoffe wirklich ihr könnt mir helfen.
danke danke
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> Der Wasserstand h(m) bei Spiekeroog an der Nordseeküste
> schwankt zwischen 0m bei Niedrigwasser und etwa 3m bei
> Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t(in
> Std. nach Hochwasser) modellhaft beschreiben durch
>
> [mm]h(t)=a+b*cos((\bruch{1}{6})*\pi*t)[/mm]
>
> a) Begründe, dass für die Paramter a und b gilt: a=b=1,5
> b) Die Funktionsgleichung beschreib den Wasserstand unter
> der Annahme, dass zwölf Stunden zwischen zwei
> Niedrigwasserständen liegen. In der Realität sind es eher
> 12,5 Stunden. Wie kann man die Funktionsgleichung abändern,
> um diesen Umstand zu berücksichtigen.
a) a und b sind gesuchte Konstanten. Du musst sie so
einrichten, dass h(t)=0 wird wenn der Cosinus seinen
kleinstmöglichen Wert erreicht und h(t)=3, wenn der
Cosinus seinen grössten Wert annimmt. Diese Werte
kennst du bestimmt. Setze sie in die Gleichung ein.
Du bekommst ein einfaches Gleichungssystem für a und b.
b) Mach dir klar, welcher Faktor in der Formel für den
zeitlichen Verlauf verantwortlich ist. Erstelle z.B. eine
Tabelle der Wasserstände für
[mm] t\in\{0,3,6,9,12,15,...\}
[/mm]
Dann kannst du diesen Faktor so anpassen, dass der
nächste Hochstand nach t=0 nicht bei t=12, sondern
bei t=12.5 liegt.
> Unter der astronomischen Sonnenscheindauer versteht man
> die Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang.
> Der 50. Breitengrad verläuft mitten durch die
> Bundesrepublik, z.B. durch Mainz. Für Orte auf ihm beträgt
> die astronomische Sonnenscheindauer ungefähr:
>
> Datum:
> 22.6||22.7||22.8||22.9||22.10||22.11||22.12||22.1||22.2||22.3||22.4||22.5
> Dauer:
> 16,2||15,4||13,8||12,0|||10,2|||8,6||||7,8|||8,7|||10,3||12,2||13,9||15,4
> (h)
>
> Begründe , dass die Funktion
> [mm]d(t)=4,2*cos((\bruch{1}{6})*\pi*t)+12;[/mm]
>
> t: Zeit in Monaten; t=0 entspricht dem 22.6.;
> die astronomische Sonnenscheindauer auf dem 50.
> Breitengrad gut annähert. Bestimme die Sonnenscheindauer am
> 10. Juli
Hier würde ich dir empfehlen, eine Tabelle und eine
Zeichnung zu erstellen - am besten in der Tabellenkalkulation.
Da kannst du die angegebenen und die nach der Formel
berechneten Sonnenscheindauern gut vergleichen.
Für die Rechnung zum 10. Juli machst du dir klar, was du
für t in die Formel einsetzen musst. (Zeit vom 22.6. bis zum
10.7., gemessen in Monaten)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Fr 26.09.2008 | | Autor: | nerif |
hi noch ne frage
wenn ich f(x)=sin(2x) habe dann bewegt sich die Kurve sowohl bei [mm] +\pi [/mm] als auch bei [mm] -\pi [/mm] von oben nach unten
wenn ich nun allerdings f(x) = sin(2x + [mm] \pi) [/mm] mache dann müsste sich meiner logischen Schlussfolgerung (die mit sicherheit falsch ist) der Graph um genau 1 [mm] \pi [/mm] nach rechts verschieben
allerdings kann das nicht sein, weil wenn meine theorie stimmen würde, würde das ganze ja gleich bleiben, allerdings verläuft die kurve genau entgegengesetzt
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Für die Flut bei t = 0 erhältst du durch Einsetzen der Werte das gewünschte Resultat
h(0h) = 1,5m + 1,5m [mm] cos(\bruch{\pi}{6}0) [/mm] = 3m
Da zwischen Flut und Ebbe 6 Stunden vergehen, setzt du für die Ebbe t=6 ein:
h(6h) = 1,5m + 1,5m [mm] cos(\bruch{\pi}{6}6) [/mm]
= 1,5 m +1,5m(-1) = 0
Um auf die Periode 12,5 h zu kommen , machst du den Ansatz
[mm] \bruch{\pi}{a}12,5 [/mm] = [mm] 2\pi [/mm]
Daraus folgt a = 6,25
Die gesuchte Gleichung ist also
h(t) = 1,5m + 1,5m [mm] cos(\bruch{\pi}{6,25}t) [/mm]
ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Sa 27.09.2008 | | Autor: | nerif |
sehr cool, danke, bisher ist alles klar,
aber was ist hiermit:
> hi noch ne frage
>
>
> wenn ich f(x)=sin(2x) habe dann bewegt sich die Kurve
> sowohl bei [mm]+\pi[/mm] als auch bei [mm]-\pi[/mm] von oben nach unten
>
> wenn ich nun allerdings f(x) = sin(2x + [mm]\pi)[/mm] mache dann
> müsste sich meiner logischen Schlussfolgerung (die mit
> sicherheit falsch ist) der Graph um genau 1 [mm]\pi[/mm] nach rechts
> verschieben
>
> allerdings kann das nicht sein, weil wenn meine theorie
> stimmen würde, würde das ganze ja gleich bleiben,
> allerdings verläuft die kurve genau entgegengesetzt
>
>
das check ich einfach nich :O
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo nerif,
> sehr cool, danke, bisher ist alles klar,
>
>
> aber was ist hiermit:
>
> > hi noch ne frage
> >
> >
> > wenn ich f(x)=sin(2x) habe dann bewegt sich die Kurve
> > sowohl bei [mm]+\pi[/mm] als auch bei [mm]-\pi[/mm] von oben nach unten
Was meinst Du damit?
> >
> > wenn ich nun allerdings f(x) = sin(2x + [mm]\pi)[/mm] mache dann
> > müsste sich meiner logischen Schlussfolgerung (die mit
> > sicherheit falsch ist) der Graph um genau 1 [mm]\pi[/mm] nach rechts
> > verschieben
um $ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $ nach links verschieben
> >
> > allerdings kann das nicht sein, weil wenn meine theorie
> > stimmen würde, würde das ganze ja gleich bleiben,
> > allerdings verläuft die kurve genau entgegengesetzt
Du hättest recht, wenn die Funktion $ f(x)= [mm] \sin(2(x+\pi)) [/mm] $ lauten würde. Periodenlänge [mm] \pi [/mm] heißt ja, dass sich die Werte wiederholen, wenn Du x um [mm] \pi [/mm] erhöhst, nicht 2x.
Gruß
Sigrid
> >
> >
>
> das check ich einfach nich :O
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 27.09.2008 | | Autor: | nerif |
hab mal ein LInk eingefügt mit Zeichnung, wie ich das meine, denn die erklärung ist ein wenig unpräzise, weiss nicht ob du verstanden hast wie ich das meine, bedanke mich aber trotzdem für die mühe schonmal
http://www.planetron.de/sinus.png
hab mir mühe gegeben hoffe mein problem ist nun klarer
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Hallo nerif,
> hab mal ein LInk eingefügt mit Zeichnung, wie ich das
> meine, denn die erklärung ist ein wenig unpräzise, weiss
> nicht ob du verstanden hast wie ich das meine, bedanke mich
> aber trotzdem für die mühe schonmal
>
>
> http://www.planetron.de/sinus.png
>
> hab mir mühe gegeben hoffe mein problem ist nun klarer
Es geht hier darum, wie der Graph
[mm]\sin\left(2x\right)[/mm]
zu verschieben ist, um den Graphen
[mm]\sin\left(2x+\pi\right)[/mm]
zu erhalten.
Dazu machen wir folgendes:
[mm]\sin\left(2x+\pi\right)=\sin\left(2x+2\bruch{\pi}{2}\right)=\sin\left(2*\left(x+\bruch{\pi}{2}\right)\right)[/mm]
Der Graph [mm]\sin\left(2x\right)[/mm] ist also um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] zu verschieben, um den Graphen [mm]\sin\left(2x+\pi\right)[/mm] zu erhalten.
Natürlich ist der Graph um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] nach links zu verschieben.
Gruß
MathePower
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Tipp zu 1a)
Der niedrigste Wasserstand ist NULL, der höchste Wasserstand ist DREI.
Wenn du für a und b jeweils 1.5 setzt, dann ergibt sich:
h(t)=1.5+1.5*cos(tralala)
Da die Kosinus-Kurve zwischen -1 und +1 schwankt, würde sich h(t) zwischen dem Tiefsstand von NULL und dem Höchststand von DREI bewegen.
Tipp zu 1b)
t ist laut Definition die Zeit in Stunden
Eine volle Periode ist [mm] 2*\pi [/mm] = der Abstand zwischen zwei Niedrigwasserständen
Laut Formel ist dieser Abstand [mm] \bruch{\pi*t}{6} [/mm] - ergo wäre t=12
Nun soll der Abstand aber t=12.5 sein , und dann soll der Ausdruck in der Kosinus-Klammer weiterhin [mm] 2*\pi [/mm] sein
Demzufolge muss der Faktor - ursprünglich [mm] \bruch{1}{6} [/mm] - geändert werden, so dass es wieder passt
Da musst du ein wenig "puzzeln", bis es hinkommt.
Tipp zu 2)
Es fällt auf, dass die Sonnenauf- und -untergänge jeweils am 22sten eines Monats bestimmt wurden. Das erleichtert die Sache.
Diesmal ist t die Zeit in Monaten und t=0 für den 22. Juni
Wenn du für t=0 einsetzt, dann ist der Kosinus EINS - multipliziert mit 4.2 und dann noch 12 addiert, das ergibt 16.2 = Toll, das soll ja auch rauskommen.
Nun mach das Ganze mit t=1, t=2 etc. Dann vergleichst du deine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus der Tabelle.
Und wenn die Ergebnisse "so ungefähr" hinkommen, dann hast du die Begründung für die Annäherung.
Eigentlich ist es recht einfach, da du die Formel ja nicht selber aufstellen musst, sondern sie lediglich überprüfen musst.
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Hallo nerif!
Wie man sieht ist das Maximum der Sonnenscheindauer 16,2 h, das Minimum 7,8 h. Die Summe beträgt 24 h, die Differenz 8,4 h. Somit ist der Mittelwert 12h mit einer Abweichung von 4,2h nach oben und unten( h ist hier die Abkürzung für Stunde).
Damit gilt d = 12 h [mm] \pm [/mm] 4,2 h
Somit ist der Ansatz
d(t) = 12 + 4,2 [mm] cos(\bruch{\pi}{6}t)
[/mm]
erklärt.
Um die Sonnescheindauer vom10.Juli zu bekommen, berechnet man die Differenz zum Nullpunkt 22.Juni. Dies macht 18 Tage oder [mm] \bruch{3}{5} [/mm] Monat. Eingesetzt ergibt dies
[mm] d(\bruch{3}{5}) [/mm] = 12 + 4,2 [mm] cos(\bruch{\pi}{6}\bruch{3}{5}) [/mm] = 12+4,2 [mm] cos(\bruch{\pi}{10}) [/mm] =16,0 h
ok?
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