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| Aufgabe | [mm] f(x)=(x^2+8x+7)/(1-x)
[/mm]
Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Nullstellen, Asymptoten, Extrema, Wendepunkte der gebrochen-rationalen Funktion und zeichnen sie anschließend den Graphen der Funktion! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
komme bei den Extrema nicht weiter. Definitionsbereich ist R ohne 1 und bei eins hat man mMn eine Asymptote, die mit x<1 von minus-unendlich und von x>1 von +unendlich angenähert wird. Mehr hab ich noch nicht. Um die Extrema zu berechnen muss man glaube ich den Zähler anschauen, ihn gleich Null setzen. Das geht aber nicht, da bei der Mitternachtsformel ein minus unter der Wurzel steht. Wie mache ich das dann? Hab nämlich den Graphen zeichnen lassen und da sind ein Minimum und ein Maximum zu sehen.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Mfg Damnation
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:51 So 28.05.2006 | | Autor: | Doro |
Für die Extrema betrachtet man den Zähler der Ableitung und setzt diesen gleich 0.
Das wäre dann
(2x+8)*(1-x) - (-1)*(x²+8x+7) = 0
Hattest du das auch so?
Aber ich komme leider auch darauf, dass es kein Ergebniss geben dürfte (zumind. nicht mit reelen Zahlen).
Komisch :-( Sorry.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 So 28.05.2006 | | Autor: | Damnation |
Ok. ich hab den Zähler der funktion und nicht der Ableitung gleich null gesetzt. Dann kommt nämlich auch eine Lösung raus. die Ableitung heißt bei mir:
[mm] x^2-2x-15/(1-x)^2
[/mm]
Dann erhält man mit der Mitternachtsformel die Werte: x=5 und x=-3. ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 So 28.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
du hast recht man muss die Nullstellen von :
[mm] (2x+8)(1-x)+x^2+8x+7=2x+8-2x^2-8x+x^2+8x+7=-x^2+2x+15. [/mm] Die Nullstellen kannst du jetzt einfach mit der p-q-Formel berechnen und erhälst:
x=-3 und x=5.
Gruß
Frank
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haben wir wohl gleichzeitig geschrieben. Danke für die Bestätigung.
Nun sind Wendepunke auch gefragt gewesen. Gibt es solche überhaupt? Glaube nämlich nicht.
Stimmt es, dass die Funktion für x->-unendlich nach +unendlich und für +unendlich nach -unedlich geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 So 28.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> haben wir wohl gleichzeitig geschrieben. Danke für die
> Bestätigung.
> Nun sind Wendepunke auch gefragt gewesen. Gibt es solche
> überhaupt? Glaube nämlich nicht.
Nein, es gibt keine.
> Stimmt es, dass die Funktion für x->-unendlich nach
> +unendlich und für +unendlich nach -unedlich geht?
Die Asymptote lautet $y=-x-9$
Also ja.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
MfG!
Disap
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Sehr schön. Wie berechnet man denn diese Asymptote? Kann ja nie schaden, wenn man das weiß.
Wie klärt man eigentlich, ob es WEPs gibt? hab das jetzt anhand der Zeichnung gesehen.
Danke allen für die Hilfe. Ihr habt mir ein büschel graue Haare erspart :D
Damnation
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 28.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Sehr schön. Wie berechnet man denn diese Asymptote? Kann ja
> nie schaden, wenn man das weiß.
Die sollst du laut Aufgabe aber schon errechnen 
Die Asymptote kannst du mit Hilfe der klassichen Polynomdivision errechnen: [mm] $(x^2+8x+7) [/mm] : (1-x) = -x-9+irgendeinen rest $
und dann zeigen mit Hilfe des limes, dass der Rest für die Asymptote für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] gegen null geht und somit für die Asymptote wegfällt.
> Wie klärt man eigentlich, ob es WEPs gibt? hab das jetzt
> anhand der Zeichnung gesehen.
Es gilt die notwendige Bedingung für die Wendepunkte
f''(x) = 0
Also brauchst du die zweite Ableitung, die so lautet:
$f''(x) [mm] =\frac{32}{(1 - x)^3}$
[/mm]
Da nur der Zähler betrachtet wird für die Nullstellen der zweiten Ableitung, gibts keine Wendestellen/Nullstellen, denn der Ausdruck 32 = 0 ist nicht losbär.
Also:
Zweite Ableitung bilden, gleich nullsetzen und zeigen, dass das keine Lösung hat.
> Danke allen für die Hilfe. Ihr habt mir ein büschel graue
> Haare erspart :D
> Damnation
L G
Disap
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Zweite Ableitung hab ich aufs erste mal ohne Fehler hingekriegt.
Bei der Polynomdivision kommt der Rest -2/-x+1 raus. Das nun auf Unendlichkeit betrachtet ergibt beide male 0 und ist sozusagen vernachlässigbar. Richtig verstanden?
Mfg Damnation
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 28.05.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Zweite Ableitung hab ich aufs erste mal ohne Fehler
> hingekriegt.
> Bei der Polynomdivision kommt der Rest -2/-x+1 raus. Das
Eigentlich kommt da raus: y=$- x - 9- [mm] \br{16}{x - 1}$ [/mm]
Hier hast du wohl den typischen Vorzeichenfehler gemacht. Bei der Polynomdivision ein Minus übersehen... Oder eins zu viel genommen..
> nun auf Unendlichkeit betrachtet ergibt beide male 0 und
> ist sozusagen vernachlässigbar. Richtig verstanden?
Ja:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \underbrace{- x - 9}_{\rightarrow -\infty} [/mm] - [mm] \underbrace{ (\br{16}{x - 1})}_{\rightarrow 0}$
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} \underbrace{- x - 9}_{\rightarrow +\infty} [/mm] - [mm] \underbrace{ (\br{16}{x - 1})}_{\rightarrow 0}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $y=-x-9$
L G Disap
> Mfg Damnation
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 28.05.2006 | | Autor: | Damnation |
Danke vielmals. kleiner Rechenfehler am schluss, aber der hat ja am endergebnis nichts gemacht. Trotzdem, genauigkeit ist wichtig!
Die Erklärung zum schluss ist auch sehr ausführlich. Danke!
Mfg Damnation
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