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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Mo 17.05.2004 | | Autor: | jewly |
Hey....
habe eine Aufgabe zu lösen und finde nicht mal einen Ansatz.... wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Aufgabe: In einer kürzlich veröffentlichen Studie sei festgestellt worden, dass die geschätzten Reserven R eines nicht erneuerbaren Rohstoffs weltweit noch für weitere 20 Jahre reichen, wenn es gelingt, den jährlichen Verbrauch V konstant auf dem diesjährigen Niveau V0 zu halten.
Nun werde der Plan diskutiert, ab 2005 den jährlichen Verbrauch stets um jeweils 3% gegenüber dem Vorjahr zu reduzieren.
Sei Vn der Jahresverbrauch im n-ten Jahr nach Inkraftsetzung dieses Planes. Dann gilt also
V1 = 0,97× V0, V2 = 0,97× V1 usw.
a) Für wie viele Jahre reichen die Reserven R noch, wenn dieser Plan ab 2005 realisiert wird?
b) Wie lautet die Antwort, wenn sogar jährlich um 4,8% reduziert wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo jewly,
willkommen im MatheRaum! Je später die Gäste... 
> habe eine Aufgabe zu lösen und finde nicht mal einen
> Ansatz.... wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte!
>
> Aufgabe: In einer kürzlich veröffentlichen Studie sei
> festgestellt worden, dass die geschätzten Reserven R eines
> nicht erneuerbaren Rohstoffs weltweit noch für weitere 20
> Jahre reichen, wenn es gelingt, den jährlichen Verbrauch V
> konstant auf dem diesjährigen Niveau V0 zu halten.
Es ist also [mm] $R=20*V_0$.
[/mm]
> Nun werde der Plan diskutiert, ab 2005 den jährlichen
> Verbrauch stets um jeweils 3% gegenüber dem Vorjahr zu
> reduzieren.
> Sei Vn der Jahresverbrauch im n-ten Jahr nach
> Inkraftsetzung dieses Planes. Dann gilt also
> V1 = 0,97× V0, V2 = 0,97× V1 usw.
> a) Für wie viele Jahre reichen die Reserven R noch, wenn
> dieser Plan ab 2005 realisiert wird?
Überlege dir zunächst, wie du die einzelnen Verbrauche [mm] V_i [/mm] in einer geschlossenen Formel bzgl. [mm] V_0 [/mm] beschreiben kannst (die Darstellung oben ist ja rekursiv und hilft dir nicht viel weiter).
Tipp:
[mm] $V_1=0.97*V_0$
[/mm]
[mm] $V_2=0.97*V_1=0.97*0.97*V_0$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $V_i=\ldots*V_0$
[/mm]
Nun kannst du bequem berechnen, welche Menge nach n Jahren verbraucht wurde; dies ist offenbar die Summe aller Verbrauche bis zum n-ten Jahr:
[mm] $\summe_{i=1}^n V_i$
[/mm]
Setze dort die oben gefundene Darstellung der [mm] V_i [/mm] mittels [mm] $\ldots*V_0$ [/mm] ein.
Zum Vorschein müsste dann eine dir bekannte Reihe kommen, deren Grenzwert bzw. geschlossene Darstellung du ebenfalls kennst...
Wann sind die Reserven aufgebraucht? Wenn die obige Summe gerade das zwanzigfache von [mm] $V_0$ [/mm] beträgt (da die Reserven ja bei konstantem Verbrauch [mm] V_0 [/mm] noch 20 Jahre reichen würden).
So kannst du eine Gleichung aufstellen...
[mm] $20*V_0=\summe_{i=1}^n V_i$
[/mm]
... und diese dann nach n auflösen (für die Summe setzt du natürlich den oben gefundenen Grenzwert ein).
> b) Wie lautet die Antwort, wenn sogar jährlich um 4,8%
> reduziert wird?
Das dürfte jetzt auch kein Problem mehr sein, oder?
Falls dir diese Tipps noch nicht reichen oder du uns deine Ergebnisse mitteilen willst, melde dich einfach wieder
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:59 Mo 17.05.2004 | | Autor: | jewly |
hey.... also habe für [mm] V_i [/mm] = [mm] 0,97^n* V_0 [/mm] raus.
Aber mit dem nächsten Begriff kann ich gar nix anfangen, da ich auch in der Schule bis zum ABI keinerlei Grundlagen der Grenzwertberechnung bekommen habe. Deswegen bin ich ja durch meine erste Matheklausur gefallen, weil da fast nur Grenzwertberechnung bei war und mir keiner es richtig erklären konnte!
Liebe Grüße und danke für die schnelle Antwort
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:09 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo jewly,
> hey.... also habe für [mm] V_i [/mm] = [mm] 0,97^n* V_0 [/mm] raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber du wolltest bestimmt [mm] $V_i [/mm] = [mm] 0,97^\red{i}*V_0$ [/mm] schreiben, ist aber nur eine Formalie (die einem aber das Leben erleichtert).
> Aber mit dem nächsten Begriff kann ich gar nix anfangen, da
> ich auch in der Schule bis zum ABI keinerlei Grundlagen der
> Grenzwertberechnung bekommen habe. Deswegen bin ich ja
> durch meine erste Matheklausur gefallen, weil da fast nur
> Grenzwertberechnung bei war und mir keiner es richtig
> erklären konnte!
Mit der obigen Darstellung sieht die im vorherigen Artikel angesprochene Summe so aus:
[mm] $\summe_{i=1}^n V_i=\summe_{i=1}^n 0.97^i*V_0=V_0*\summe_{i=1}^n 0.97^i$
[/mm]
Für die letzte Gleichheit habe ich einfach [mm] V_0 [/mm] ausgeklammert.
Diese Summe/Reihe heißt nun geometrische Reihe; ihre geschlossene Darstellung steht in jeder Formelsammlung:
[mm] $\summe_{i=1}^n q^i=\bruch{1-q^{n-1}}{1-q}$
[/mm]
In deinem Fall ist $q=0.97$
Magst du es mit diesen Infos nochmal probieren?
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:24 Mo 17.05.2004 | | Autor: | jewly |
ok.... falls ich jetzt richtig gerechnet habe, bekomme ich für n=2,3 raus...
habe in die Formel eingesetzt, das n-1 durch log runtergeholt und beide Seite damit log.
log 20 = [mm] \bruch{n-1*log0,03}{log0,03} [/mm] und dann nach n aufgelöst.
LG Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:33 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Julia,
> ok.... falls ich jetzt richtig gerechnet habe, bekomme ich
> für n=2,3 raus...
Das wäre ja etwas ungünstig, da die Reserven bei sparsamerem Verbrauch einen kürzeren Zeitraum halten würden. Es ist doch auf jeden Fall ein Ergebnis $n>20$ zu erwarten, was meinst du?
> habe in die Formel eingesetzt, das n-1 durch log
> runtergeholt und beide Seite damit log.
>
> log 20 = [mm] \bruch{n-1*log0,03}{log0,03} [/mm] und dann nach n
> aufgelöst.
Mmh
Hier hast du ein paar Logarithmusgesetze --sagen wir-- phantasievoll angewendet. Bitte beachte, dass, wenn du logarithmierst, du separat beide Seiten logarithmieren mußt, also
[mm] $\mbox{linke Seite}=\mbox{rechte Seite}$ |$\log(\ldots)$
[/mm]
[mm] $\log(\mbox{linke Seite})=\log(\mbox{rechte Seite})$
[/mm]
Erst dann kannst du auf einer Seite mit den Logarithmusgesetzen Vereinfachung vornehmen.
Die Gleichung lautet also:
[mm] $20*V_0=\summe_{i=1}^n 0.97^i*V_0$ |$:V_0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 20=\summe_{i=1}^n 0.97^i$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 20=\bruch{1-0.97^{n-1}}{1-0.97}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 20=\bruch{1-0.97^{n-1}}{0.03}$ [/mm] |$*0.03$
[mm] $\gdw\ 20*0.03=1-0.97^{n-1}$ |$+0.97^{n-1}-20*0.03$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0.97^{n-1}=1-20*0.03$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0.97^{n-1}=1-0.6$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0.97^{n-1}=0.4$ |$\log(\ldots)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \log 0.97^{n-1}=\log [/mm] 0.4$
[mm] $\gdw\ (n-1)*\log 0.97=\log [/mm] 0.4$
[mm] $\gdw\ n-1=\bruch{\log 0.4}{0.97}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ n=\bruch{\log 0.4}{0.97}+1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ n\approx30.08+1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ n\approx31.08$
[/mm]
Bei einer jährlichen Verbrauchsminderung um 3% reichen die Reserven also 11 Jahre länger.
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:44 Mo 17.05.2004 | | Autor: | jewly |
Vielen Lieben Dank für deine Gedult und Hilfe :)
Habe es mir mit den log - Gesetzten zu einfach gemacht und daher den Fehler jetzt mit deiner Hilfe super gut finden können!
Bin dir unendlich Dankbar!!!!
LG Julia
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