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| Aufgabe | Ermitteln Sie diejenige Funktion, bei der an jeder Stelle ihre Ableitung gleich dem Quadrat Ihres Funktionswertes ist, und die für Null den Funktionswert -1 besitzt.
Suchen Sie alle Funktionen, die mit Ihrer Ableitung multipliziert gerade ihren Kehrwert ergeben.
Lösen Sie
y' t - [mm] te^{t-1}+1=0 [/mm] mit Anfangsbedingung y(1) = 0 |
Hallo Leute,
ich weis der Betreff sagt nicht viel aus, aber ich brauche HIlfe zu DGL. In Kürze werden DGL (zwar nur ein sehr kleiner Anteil) ein Thema in einer Mathe Klausur. Ich habe noch absolut keinen Schimmer davon und muss mir das selber beibringen. Die gestellten Aufgaben sind nicht sehr anspruchsvoll, aber ich brauche trotzdem Eure HIlfe. Oben seht ihr ein paar Beispiele aus älteren Klausuren.
Ich hab zwar schon gegoogelt und einiges zum Thema gefunden, aber iwie trotzdem noch keinen richtigen Einstieg gefunden, vllt hat ja jemand einen "Geheimtipp" oder ihr könntet ein oder zwei der Aufgaben vorrechnen.
Viele Grüße
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Hallo PsychOdad,
> Ermitteln Sie diejenige Funktion, bei der an jeder Stelle
> ihre Ableitung gleich dem Quadrat Ihres Funktionswertes
> ist, und die für Null den Funktionswert -1 besitzt.
>
> Suchen Sie alle Funktionen, die mit Ihrer Ableitung
> multipliziert gerade ihren Kehrwert ergeben.
Formuliere doch erst einmal diese ersten beiden Sätze als Dglen.
Das sind keine allzu schwierigen Brocken, die du durch Trennung der Variablen schnell in den Griff bekommst ...
Aber der erste Schritt besteht, wie gesagt, im Aufstellen der Dglen.
Probiere das mal ...
>
>
> Lösen Sie
>
> y' t - [mm]te^{t-1}+1=0[/mm] mit Anfangsbedingung y(1) = 0
Bringe den ganzen Klumpatsch hinter [mm] $y'\cdot{}t$ [/mm] auf die andere Seite, teile durch $t$ [mm] ($t\neq [/mm] 0$) und integriere beide Seiten....
> Hallo Leute,
>
> ich weis der Betreff sagt nicht viel aus, aber ich brauche
> HIlfe zu DGL. In Kürze werden DGL (zwar nur ein sehr
> kleiner Anteil) ein Thema in einer Mathe Klausur. Ich habe
> noch absolut keinen Schimmer davon und muss mir das selber
> beibringen. Die gestellten Aufgaben sind nicht sehr
> anspruchsvoll, aber ich brauche trotzdem Eure HIlfe. Oben
> seht ihr ein paar Beispiele aus älteren Klausuren.
>
> Ich hab zwar schon gegoogelt und einiges zum Thema
> gefunden, aber iwie trotzdem noch keinen richtigen Einstieg
> gefunden, vllt hat ja jemand einen "Geheimtipp" oder ihr
> könntet ein oder zwei der Aufgaben vorrechnen.
Es wird nicht ganz klar, woran es denn genau bei dir hapert?
Welche Lösungsverfahren hast du denn schon kennengelernt?
Wie gesagt, die ersten beiden sind nett trennbar, die dritte kannst du recht geradeheraus integrieren - s.o.
Beschreibe mal genauer, wo du Probleme hast ... dann können wir Näheres sagen...
>
> Viele Grüße
Dito
schachuzipus
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Halli Hallo,
zunächst mal Danke für deine Antwort und sorry für meine späte Reaktion, war die letzten Tage leider verhindert 
Nun gut, mein Problem liegt egtl. daran, dass unser Prof. nur mit abstratkten Formeln und irgendwelchen komplizierten Herleitungen um sich wirft und keine konkreten Beispiele bringt. Für Mathe Profis (zu denen ich defintiv nicht gehöre :-D ) mag das okay sein, aber für mich sind das hieroglyphen . Gut, hab ich mir heute gedacht das Internet muss doch was brauchbares hergeben... und siehe da, hab eine nette Erklärung gefunden mit konkreten Beispielen...
Eine Bearbeitung der Aufgaben wurde in folgende Schritte eingeteilt: Explizite Form / Differntialquotient / Variablentrennung / Integration / Nach Y auflösen / Nach C auflösen
Bei der 3. Aufgabe bin ich nun grob so vorgegangen:
[mm] y'\cdot{}t-te^{-t+1}+1=0
[/mm]
[mm] y'=\bruch{te^{-t+1}-1}{t}
[/mm]
[mm] y'\cdot{}dy=\bruch{te^{-t+1}-1}{t} [/mm] dt
[mm] \integral [/mm] y = [mm] \integral\bruch{te^{-t+1}-1}{t}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}y^2 [/mm] = [mm] e^{t-1}-ln{t}+C
[/mm]
[mm] y=\wurzel{e^{t-1}-ln{t}+C}
[/mm]
bevor ich jetzt noch auflöse wollte ich wissen ob ich ungefähr auf dem richtigen weg bin?
Probleme hab ich allerdings noch mit aufstellen der DGL für die ersten beiden Aufgaben...
Bei der ersten Aufgabe müsste der Anfangswert y(-1)=0 sein oder?
Für die zweite kommt mir jetzt nur [mm] f{x}\cdot{}f'{x}=f^{-1}{x} [/mm] mit in den Sinn...
Sorry, dass ich bei obigem Lösungsweg nichts kommentiert habe, hatte nur kurz zeit :(
Vielen Dank für die Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 25.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Halli Hallo,
>
> zunächst mal Danke für deine Antwort und sorry für meine
> späte Reaktion, war die letzten Tage leider verhindert
>
> Nun gut, mein Problem liegt egtl. daran, dass unser Prof.
> nur mit abstratkten Formeln und irgendwelchen komplizierten
> Herleitungen um sich wirft und keine konkreten Beispiele
> bringt. Für Mathe Profis (zu denen ich defintiv nicht
> gehöre :-D ) mag das okay sein, aber für mich sind das
> hieroglyphen . Gut, hab ich mir heute gedacht das
> Internet muss doch was brauchbares hergeben... und siehe
> da, hab eine nette Erklärung gefunden mit konkreten
> Beispielen...
>
> Eine Bearbeitung der Aufgaben wurde in folgende Schritte
> eingeteilt: Explizite Form / Differntialquotient /
> Variablentrennung / Integration / Nach Y auflösen / Nach C
> auflösen
>
> Bei der 3. Aufgabe bin ich nun grob so vorgegangen:
>
> [mm]y'\cdot{}t-te^{-t+1}+1=0[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{te^{-t+1}-1}{t}[/mm]
>
> [mm]y'\cdot{}dy=\bruch{te^{-t+1}-1}{t}[/mm] dt
Das kann aber nicht sein. Entweder du multiplizierst beide Seiten mit dy oder beide Seiten mit dt, aber nicht links so und rechts anders.
Schreibe an Stelle von y' einfach [mm] \bruch{dy}{dt}, [/mm] dann kannst du mit dt multiplizieren:
[mm]y'=\bruch{te^{-t+1}-1}{t}[/mm]
[mm]\bruch{dy}{dt}=\bruch{te^{-t+1}-1}{t}[/mm]
[mm]dy=\bruch{te^{-t+1}-1}{t}*dt[/mm]
[mm]dy=(e^{-t+1}-\bruch{1}{t})*dt[/mm]
Jetzt integrieren:
[mm] y=-e^{-t+1}-ln [/mm] t +C
Gruß Abakus
>
> [mm]\integral[/mm] y = [mm]\integral\bruch{te^{-t+1}-1}{t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}y^2[/mm] = [mm]e^{t-1}-ln{t}+C[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{e^{t-1}-ln{t}+C}[/mm]
>
> bevor ich jetzt noch auflöse wollte ich wissen ob ich
> ungefähr auf dem richtigen weg bin?
>
> Probleme hab ich allerdings noch mit aufstellen der DGL für
> die ersten beiden Aufgaben...
>
> Bei der ersten Aufgabe müsste der Anfangswert y(-1)=0 sein
> oder?
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> Für die zweite kommt mir jetzt nur
> [mm]f{x}\cdot{}f'{x}=f^{-1}{x}[/mm] mit in den Sinn...
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> Sorry, dass ich bei obigem Lösungsweg nichts kommentiert
> habe, hatte nur kurz zeit :(
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> Vielen Dank für die Hilfe :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
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> Probleme hab ich allerdings noch mit aufstellen der DGL für
> die ersten beiden Aufgaben...
>
> Bei der ersten Aufgabe müsste der Anfangswert y(-1)=0 sein
> oder?
Nein, umgekehrt: y(0)=-1 . Nun probiere dich einmal am Aufstellen der DGL. Das ist wie damals in der Schule, die Textaufgaben...
> Für die zweite kommt mir jetzt nur
> [mm]f(x)\cdot{}f'(x)=f^{-1}(x)[/mm] mit in den Sinn...
Ja, richtig. [mm] $y*y'=\bruch{1}{y}$
[/mm]
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> Sorry, dass ich bei obigem Lösungsweg nichts kommentiert
> habe, hatte nur kurz zeit :(
>
>
> Vielen Dank für die Hilfe :)
>
LG, Martinius
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> Ja, richtig. [mm]y*y'=\bruch{1}{y}[/mm]
Bin das jetzt mal grob durchgegangen, habe aber noch ein paar Probleme.
Zunächst ja mal in Explizite Form bringen:
[mm]y' = \bruch{1}{y^2}[/mm]
Passt das so?
[mm]dy = \bruch{1}{y^2}[/mm]
Es gibt ja keinen x - Wert, wie wird das jetzt gehandhabt?
[mm]y^2 \cdot dy = 1[/mm]
Der Weg ist nicht richtig oder?
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Nochmal zum aufstellen der DGL für die erste Aufgabe...
[mm]y' = x^2[/mm] ist das einzigste was mir jetzt in den Sinn kommt... Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 28.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Ja, richtig. [mm]y*y'=\bruch{1}{y}[/mm]
>
> Bin das jetzt mal grob durchgegangen, habe aber noch ein
> paar Probleme.
>
>
> Zunächst ja mal in Explizite Form bringen:
> [mm]y' = \bruch{1}{y^2}[/mm]
>
> Passt das so?
> [mm]dy = \bruch{1}{y^2}[/mm]
>
> Es gibt ja keinen x - Wert, wie wird das jetzt gehandhabt?
>
> [mm]y^2 \cdot dy = 1[/mm]
>
> Der Weg ist nicht richtig oder?
>
> -----------------------------------------------
>
> Nochmal zum aufstellen der DGL für die erste Aufgabe...
>
> [mm]y' = x^2[/mm] ist das einzigste was mir jetzt in den Sinn
> kommt...
Nein ! wie wärs mit
y'(t) = [mm] y^2(t), [/mm] y(0) = -1
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
FRED
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Danke FRED! :)
Also bei [mm]y' \cdot y = \bruch{1}{y}[/mm] sowohl also auch bei [mm]y'=y^2[/mm] handelt es sich ja um autonome DGL oder?
Für erstere:
[mm]y^2 \cdot y' \cdot \bruch{dy}{dt} = 1[/mm]
[mm]y^2 \cdot y' \cdot dy = 1 \cdot dt[/mm]
Für zweitere:
[mm]-y^2 \cdot y' = 1[/mm]
[mm]-y^2 \cdot y' \cdot dy= 1\cdot dt[/mm]
Wie gehts jetzt weiter? Wird jetzt ganz normal wie bei den anderen DGL Integriert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 28.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke FRED! :)
>
> Also bei [mm]y' \cdot y = \bruch{1}{y}[/mm] sowohl also auch bei
> [mm]y'=y^2[/mm] handelt es sich ja um autonome DGL oder?
Ja
>
> Für erstere:
>
> [mm]y^2 \cdot y' \cdot \bruch{dy}{dt} = 1[/mm]
>
> [mm]y^2 \cdot y' \cdot dy = 1 \cdot dt[/mm]
Nein!
Du hast [mm] y'y^2 [/mm] = 1,
also $ [mm] y^2 \cdot \bruch{dy}{dt} [/mm] = 1 $,
somit y²dy = dt
>
> Für zweitere:
>
> [mm]-y^2 \cdot y' = 1[/mm]
>
> [mm]-y^2 \cdot y' \cdot dy= 1\cdot dt[/mm]
Ebenfalls Nein
y' = y² ==> dy/dt = y² ==> (1/y²)dy = dt
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> Wie gehts jetzt weiter? Wird jetzt ganz normal wie bei den
> anderen DGL Integriert?
>
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