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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 15.04.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung
[mm] $f(x)=\bruch{1}{2}\*(x^2-4)(x^2-2)$
[/mm]
a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie, gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, sowie auf lokale Extrempunkte und Wendepunkte. Ermitteln Sie gegebenfalls deren Koordinaten !
Geben Sie den Wertebereich von f an !
Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall [mm] $-2,5\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,5$ !
Für jede reelle Zahl r ist eine Gerade mit der Gleichung $y=r$ gegeben.
Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Geraden mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von r an !
b) Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung
[mm] $y=\bruch{1}{4}\x [/mm] + [mm] \bruch{5}{4}$ [/mm] den Graphen der Funktion f an der Stelle $x=1$ senkrecht schneidet. Das von der Geraden und den Koordinatenachsen eingeschlossene Flächenstück rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Körpers !
c) Durch den Koordinatenursprung und die Wendepunkte des Graphen von f verläuft der Graph einer quadratischen Funktion q. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für q ! Die Graphen von f und q und die x-Achse begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig. Berechenen Sie deren Inhalt. |
Ich benötige Hilfe für die Aufgabenteile b) und c).
zu a)
[mm] $f(x)=\bruch{1}{2}\*(x^2-4)(x^2-2)$
[/mm]
kann umgeformt werden zu:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{2}\ x^4 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 4$
$f'(x) = [mm] 2x^3 [/mm] - 6x$
$f''(x) = [mm] 6x^2-6$
[/mm]
$f'''(x) = 12x$
Symmetrie: Die Funktion hat nur gerade Potenzen und ist somit achsensymmetrisch zur x-Achse (weitere Überprüfung kann man sich hier sparen).
Nullstellen:
Die Funktion hat vier Nullstellen
[mm] $S_x_1=(2|0)$
[/mm]
[mm] $S_x_2=(-2|0)$
[/mm]
[mm] $S_x_3=(\wurzel{2}\|0)$
[/mm]
[mm] $S_x_4=(-\wurzel{2}\|0)$
[/mm]
y-Achsenabschnitt:
Die Funktion schneidet die y-Achse bei
[mm] $S_y=(0|4)$
[/mm]
Extrema:
Die erste Ableitung hat drei Nullstellen, somit hat die Funktion drei lokale Extrema (zwei Tief- und einen Hochpunkt)
[mm] $T_1=(\wurzel{3}\|-\bruch{1}{2})$
[/mm]
[mm] $T_2=(-\wurzel{3}\|-\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $H_1=(0|4)$
[/mm]
Wendepunkte:
Die Funktion hat drei Extrema, Wendepunkte liegen immer zwischen zwei Extrema, somit hat die Funktion zwei Wendepunkte (die zweite Ableitung zwei Nullstellen)
[mm] $W_1=(\wurzel{1}\|1,5)$
[/mm]
[mm] $W_2=(-\wurzel{1}\|1,5)$
[/mm]
Wertemenge: [mm] $W=R|(-0,5)\le [/mm] y [mm] \le \infty$ [/mm] <-- ist das richtig angegeben ???
Ich hab das Plotten lassen und erhalte alle das selbe Ergebnis, das müsste eigentlich alles so stimmen.
Die Funktion g(x) = r ist eine Parallele zur x-Achse. Je nach Belegung von r hat die Funktion eine unterschiedliche Anzahl von gemeinsamen Punkten mit f.
$f(x)$ und $g(x)$ haben zwei gemeinsame Punkte, wenn
$r = (-0,5) [mm] \wedge [/mm] r [mm] \g [/mm] > 4$
$f(x)$ und $g(x)$ haben drei gemeinsame Punkte, wenn
$r = 4$
$f(x)$ und $g(x)$ haben vier gemeinsame Punkte, wenn
$ (-0,5) < r < 4$
b) also ich nehme mal an, ich erweitere die Funktion mit vier um eine ganzrationale, lineare Funktion zu machen und zeichne die dann in meine Skizze, dass dürfte kein Problem darstellen. Was muss ich schreiben, um zu zeigen, dass die Funktion auf f senkrecht steht ??? Wie berechne ich das Volumen des Körpers ???
c) Hmmm, also ich muss zuerst eine quadratische Funktion aufstellen, damit hab ich noch so meine Problemchen, kann mir da jemand ne Musterrechnung vorgeben, damit ich einen Vergleich habe, ob ich richtig rechne ??? Wäre nett. Die Flächenberechnung mit dem Integral bekomme ich denke ich mal hin.
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> zu a)
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}\*(x^2-4)(x^2-2)[/mm]
>
> kann umgeformt werden zu:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}\ x^4 - 3x^2 + 4[/mm]
>
> [mm]f'(x) = 2x^3 - 6x[/mm]
> [mm]f''(x) = 6x^2-6[/mm]
> [mm]f'''(x) = 12x[/mm]
>
> Symmetrie: Die Funktion hat nur gerade Potenzen und ist
> somit achsensymmetrisch zur x-Achse
zur y-Achse, aber das war sicher nur ein Tippfehler 
>
> Nullstellen:
>
> Die Funktion hat vier Nullstellen
> [mm]S_x_1=(2|0)[/mm]
> [mm]S_x_2=(-2|0)[/mm]
> [mm]S_x_3=(\wurzel{2}\|0)[/mm]
> [mm]S_x_4=(-\wurzel{2}\|0)[/mm]
>
> y-Achsenabschnitt:
>
> Die Funktion schneidet die y-Achse bei
> [mm]S_y=(0|4)[/mm]
>
> Extrema:
>
> Die erste Ableitung hat drei Nullstellen, somit hat die
> Funktion drei lokale Extrema (zwei Tief- und einen
> Hochpunkt)
> [mm]T_1=(\wurzel{3}\|-\bruch{1}{2})[/mm]
> [mm]T_2=(-\wurzel{3}\|-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]H_1=(0|4)[/mm]
>
> Wendepunkte:
>
> Die Funktion hat drei Extrema, Wendepunkte liegen immer
> zwischen zwei Extrema
Das muss nicht unbedingt sein, ist hier aber so.
>, somit hat die Funktion zwei
> Wendepunkte (die zweite Ableitung zwei Nullstellen)
> [mm]W_1=(\wurzel{1}\|1,5)[/mm]
> [mm]W_2=(-\wurzel{1}\|1,5)[/mm]
Das ist richtig, aber du kannst ruhig schreiben:
[mm] \wurzel{1} [/mm] = 1
>
> Wertemenge: [mm]W=R|(-0,5)\le y \le \infty[/mm] <-- ist das richtig
> angegeben ???
Die Wertemenge hast du richtig bestimmt. Zur Schreibweise gibt es mehrere Möglichkeiten, z.B.
W = [mm] \IR^{\ge-\bruch{1}{2}}
[/mm]
W = {y [mm] \in \IR, [/mm] y [mm] \ge -\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ich find die zweitere schöner. Wenn ihr das mit dem y so gemacht hat, kann man das auch tun, ich finde es etwas ungenau, da ja nicht unbedingt y immer f(x) sein muss.
> Ich hab das Plotten lassen und erhalte alle das selbe
> Ergebnis, das müsste eigentlich alles so stimmen.
Tut es auch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sehr gut gemacht!
> Die Funktion g(x) = r ist eine Parallele zur x-Achse. Je
> nach Belegung von r hat die Funktion eine unterschiedliche
> Anzahl von gemeinsamen Punkten mit f.
>
> [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] haben zwei gemeinsame Punkte, wenn
> [mm]r = (-0,5) \wedge r \g > 4[/mm]
>
> [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] haben drei gemeinsame Punkte, wenn
> [mm]r = 4[/mm]
>
> [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] haben vier gemeinsame Punkte, wenn
> [mm](-0,5) < r < 4[/mm]
>
Genau so ist es richtig .
Nur das erste ist ein bisschen irreführend: Da steht jetzt in Worten: r =-0.5 und r > 4, und das geht ja nicht Du musst ein "oder" schreiben, also [mm] \vee.
[/mm]
> b) also ich nehme mal an, ich erweitere die Funktion mit
> vier um eine ganzrationale, lineare Funktion zu machen und
> zeichne die dann in meine Skizze, dass dürfte kein Problem
> darstellen. Was muss ich schreiben, um zu zeigen, dass die
> Funktion auf f senkrecht steht ??? Wie berechne ich das
> Volumen des Körpers ???
Zwei Schritte:
Zeige, dass die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x = 1 dann -4 ist, dann ist klar dass die dazu senkrechte Steigung [mm] -\bruch{1}{-4} [/mm] = 0.25 sein muss; die angegebene Grade würde also schonmal von der Steigung her passen. Dann musst du nur noch zeigen, dass die Gerade an der Stelle x = 1 denselben y-Wert hat wie die Funktion f(x), dann sind wir sicher dass die Gerade auch an der Stelle durch die Funktion geht (und zwar mit der Steigung 0.25).
Zur Berechnung des Rotationskörpers ist es notwendig, die Schnittpunkte der linearen Funktion mit den Koordinatenachsen zu kennen, denn das sind deine Integrationsgrenzen.
(-5 bis 0 kommt raus)
g(x) = [mm] \bruch{1}{4}*x+\bruch{5}{4}
[/mm]
Nun habt ihr sicher eine Formel für Rotationskörper gehabt...
> c) Hmmm, also ich muss zuerst eine quadratische Funktion
> aufstellen, damit hab ich noch so meine Problemchen, kann
> mir da jemand ne Musterrechnung vorgeben, damit ich einen
> Vergleich habe, ob ich richtig rechne ??? Wäre nett. Die
> Flächenberechnung mit dem Integral bekomme ich denke ich
> mal hin.
>
Da die Funktion durch die Wendepunkte einer symmetrischen Funktion gehen soll (f(x) ist symmetrisch) und durch den Koordinatenursprung, ist klar dass sie die Form
[mm]q(x) = a*x^{2}[/mm]
hat. Warum? Wenn ich zwei Punkte in genau gleicher Höhe habe (was die Wendepunkte ja sind) und eine quadratische Funktion reinlegen soll, die auch noch durch einen Punkt (den Koordinatenursprung) gehen soll, der genau zwischen den beiden Punkten liegt, ist klar, dass weder eine Verschiebung in x-Richtung noch in y-Richtung der Normalparabel erfolgt. Somit bleibt nur, die Streckung bzw. Stauchung der Normalparabel zu bestimmen, womit obige Formel zustande kommt.
Das a erhältst du, indem du den bekannten Wendepunkt in die Gleichung einsetzt und nach a umstellst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
Also ... ich soll das Volumen des Rotationskörpers um die x-Achse berechnen.
Ich zeichne mir also zuerst einmal die Gerade [mm] y=\bruch{1}{4}\ [/mm] + [mm] \bruch{5}{4}\$ [/mm] in meine Skizze, uns sehe, dass bei x=1,5 die Fläce begrenzt wird. Meiner Meinung nach begrenzt dieser Punkt (Nullstelle
f(x) ) auch das Integral, so dass mein zu berechnendes Integral
[mm] $\integral_{0}^{1,5} [/mm] F(x) [mm] dx\$
[/mm]
lautet (meine Integrationsgrenzen sind also 0 und 1). Nun bilde ich die
Stammfunktion zu f(x):
$F(x) = [mm] [\bruch{1}{10}\ x^5 [/mm] - x ^ 3 + 4x]$
damit erhalte ich das zu berechnende Integral
[mm] $\integral_{0}^{1,5} [\bruch{1}{10}\ x^5 [/mm] - x ^ 3 + 4x] dx$
Die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse lautet:
[mm] $V_x [/mm] = PI [mm] [\integral_{x_1}^{x_2}F(x)]^2 [/mm] dx $
Da komm ich nicht weiter. Welchen Funktionswert der Stammfunktion (obere/untere Integrationsgrenze) muss ich da wo einsetzen und was
muss ich letztendlich quadrieren ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
oh, hm ich hab meine Integrationsgrenzen falsch gesetzt. Sie liegen zwischen der Nullstelle von g(x) (also -5 --> untere Grenze) und einer der Nullstellen von f(x) (also [mm] \wurzel [/mm] {2}\ --> obere Grenze), da dort die Fläche begrenzt wird.
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b) Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung
$ [mm] y=\bruch{1}{4}\x [/mm] + [mm] \bruch{5}{4} [/mm] $ den Graphen der Funktion f an der Stelle x=1 senkrecht schneidet. Das von der Geraden und den Koordinatenachsen eingeschlossene Flächenstück rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Körpers !
Wenn du dir das zeichnest, ist die linke Integrationsgrenze also die Nullstelle von [mm] \frac{1}{4}*x+\frac{5}{4}, [/mm] also [mm] x_0=-5 [/mm] und die rechte Integrationsgrenze der y-Achsenschnittpunkt, also [mm] y_0=\frac{5}{4}
[/mm]
Nun lautet die Formel für Rotationskörper:
[mm] V_x [/mm] = [mm] \pi \integral_{-5}^{0}[f(x)]^2 [/mm] dx Du musst die Ursprungfunktion quadieren und dann davon das Integral bilden und mit pi multiplizieren. Somit:
[mm] V_x [/mm] = [mm] \pi \integral_{-5}^{0}[\frac{1}{4}*x+\frac{5}{4}]^2 [/mm] dx
[mm] V_x [/mm] = [mm] \pi \integral_{-5}^{0}\frac{x^2}{16}+\frac{5*x}{8}+\frac{25}{16} [/mm] dx
[mm] V_x= \pi [\frac{x^3+15x^2+75x}{48} [/mm] (x=-5 bis 0)]
[mm] V_x=\frac{125\pi}{48}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
Also ich komm da irgendwie ni drauf klar. Deine Zwischenschritte werfen mir noch mehr Fragen auf. Kannst du das mal ausführlich erklären ??? Ich verbinde die Integrationsgrenzen eigentlich immer mit den Punkten auf der x-Achse (ja stimmt, ich hab mich da an der Skizze verguggt, is ja nur im zweiten Sektor begrenzt) und mit Stammfunktionen.
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Erstmal, die Fläche hat nichts mit der Funktion f zu tun, sondern es ist nur die Fläche gesucht, die die Gerade und die Koordinatenachsen bilden. (Und die dann um die x-Achse rotiert.)
Also sind die Integrationgrenzen die beiden Punkte (genauer: Stellen), wo deine Gerade die x-Achse und die y-Achse schneidet; also [mm] x_1=-5 [/mm] und [mm] x_2=0.
[/mm]
Um das Volumen des Rotationskörpers zu berechnen quadriest du die Funktionsgleichung der Geraden erstmal, bildest davon das Integral, wertest die Grenzen aus und multiplizierst anschließend mit [mm] \pi.
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) http://img228.imageshack.us/img228/7347/integralod5.jpg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
Die Integrationsgrenzen sind mir mittlerweile klar, auch dass ich die Aufgabe ein wenig verpeilt hab ... allerdings kann ich deiner Rechnung nicht folgen. Kann ich nicht irgendwie die Brüche entfernen, damit die Rechnung weniger fehlerträchtig und übersichtlicher wird ??? Bitte mal eine AUSFÜHRLICHE Rechnung.
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Hallo, versuche es schrittweise:
wir benötigen zunächst die Stammfunktion zu
[mm] \bruch{x^{2}}{16}+\bruch{5x}{8}+\bruch{25}{16}
[/mm]
um die Brüche werden wir nicht umhinkommen
[mm] \bruch{x^{3}}{3*16}+\bruch{5x^{2}}{2*8}+\bruch{25*x}{16}
[/mm]
jetzt kannst du die Nenner berechnen, erweitere dann den 2. und 3. Bruch jeweils mit 3, um den einheitlichen Nenner 48 zu erhalten, dann Grenzen einsetzen, dann mit [mm] \pi [/mm] multiplizieren, so jetzt bist du dran, poste mal bitte deine Rechenschritte, wir finden deine Fehler ganz bestimmt!!
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
Also, hm, dass klingt zwar jetzt total blöde wahrscheinlich, aber ich komme mit den brüchen nichtklar und nicht auf
$ [mm] \bruch{x^{2}}{16}+\bruch{5x}{8}+\bruch{25}{16} [/mm] $
Wenn ich die Gleichung [mm] $\bruch [/mm] {1}{4}\ x + [mm] \bruch [/mm] {5}{4}\ $quadriere
und ausmultipliziere ... ergibt das meiner Meinung nach ...
= [mm] $\bruch {x^2}{16}\ [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {5}{16}\ x + [mm] \bruch [/mm] {5}{16}\ x +$ [mm] $\bruch [/mm] {25}{16}\ $
also irgendwas verplan ich hier. :-? hilfe !!! ich scheitere an brüchen ... X-(
EDIT: ah nein ... ich glaub ich habs wieder ...
$ [mm] \bruch [/mm] {5x}{16}\ + [mm] \bruch [/mm] {5x}{16}\ x $
$ = [mm] \bruch [/mm] {2*(5x)}{16}\ $ <--- mit zwei kürzen
$ = [mm] \bruch [/mm] {5x}{8}\ $
So richtig ??? Das mit den BRÜCHEN lässt mir keine Ruhe. Peinlich.
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Hallo,
so ist es korrekt, (ohne x geschrieben von mir)
[mm] \bruch{5}{16}+\bruch{5}{16}=\bruch{10}{16}=\bruch{5}{8}
[/mm]
gekürzt mit 2
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Do 17.04.2008 | | Autor: | argl |
Also ich hab den Faden jetz wiedergefunden. Ich habe die Stammfunktion bestimmt und muss erhalte
$ PI * [mm] \integral_{-5}^{0}[\bruch{x^3 + 15x^2 + 75 x}{48}\ [/mm] ] \ $
Wie kann ich nun das Gesamtvolumen bestimmen ??? Muss ich jeden Funktionswert der Stammfunktionsfunktion innerhalb der Integrationsgrenzen (also F(-5) bis F(0)) addieren
und die Summe mit PI multiplizieren ??? Hab mit den Rotationskörpern noch ni wirklich oft gerechnet, meist gings um Flächen, da is das weniger
umständlich (deswegen hängt es da auch grade ein wenig)).
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Hallo, störe dich nicht an Flächen oder Körpern
[mm] \bruch{x^{3}+15x^{2}+75x}{48} [/mm] ist deine Stammfunktion F(x), also ohne Integral!!
F(0) berechnen, sollte kein Problem sein, setze für x die Zahl 0 ein
F(-5) berechnen, achte genau auf die Vorzeichen, setze für x die Zahl -5 ein
dann [mm] \pi(F(0)-F(5))
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Do 17.04.2008 | | Autor: | Xnyzer |
> [mm]\bruch {5x}{16}\ + \bruch {5x}{16}\ x[/mm]
> [mm]= \bruch {2*(5x)}{16}\[/mm]
> <--- mit zwei kürzen
> [mm]= \bruch {5x}{8}\[/mm]
die beiden brüche können nicht einfach addiert werden. hinter dem zweiten steht doch noch ein mal x.
somit kann da nichts mehr vereinfacht werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Do 17.04.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
[mm] \bruch{5}{16}x+\bruch{5}{16}x=\bruch{10}{16}x=\bruch{5}{8}x
[/mm]
du hast ein x zuviel, Steffi
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![[]](http://img228.imageshack.us/img228/7347/integralod5.jpg){kind=small}
http://img228.imageshack.us/img228/7347/integralod5.jpg