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Ich hab eine frage bezüglich Hintereinanderausführung von Funktionen. Die Fragestellung lautet: Ist die Hintereinanderausführung zweier linearer Funktionen wieder linear? Meine Antwort ist ja. Ich habe es mit einem Beispiel von einsetzen ausprobiert. Kann mir jem. erklären warum sie wieder linear sein muss?
Außerdem habe ich eine Frage zu f o g und g o f. Ist das dasselbe oder gibt es einen Unterschied?
Vielen Dank für eure hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Di 26.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Denise!
Ja, die Hintereinanderführung von zwei linearen Funktionen ist wieder linear.
Sind $f:X [mm] \to [/mm] Y$ und $g: Y [mm] \to [/mm] Z$ linear, wobei $X,Y,Z$ alles [mm] $\IK$-Vektorräume [/mm] sind, dann müssen wir für alle $x,x' [mm] \in [/mm] X$ und alle [mm] $\lambda, \mu \in \IK$ [/mm] folgendes zeigen:
$(g [mm] \circ f)(\lambda \cdot [/mm] x + [mm] \mu \cdot [/mm] x') = [mm] \lambda \cdot [/mm] [(g [mm] \circ [/mm] f)(x)] + [mm] \mu \cdot [/mm] [(g [mm] \circ [/mm] f)(x')]$.
Nun gilt aber:
$(g [mm] \circ f)(\lambda \cdot [/mm] x + [mm] \mu \cdot [/mm] x')$
$= [mm] g(f(\lambda \cdot [/mm] x + [mm] \mu \cdot [/mm] x'))$
(nach Definition der Hintereinanderausführung [mm] $\circ$)
[/mm]
$= [mm] g(\lambda \cdot [/mm] f(x) + [mm] \mu \cdot [/mm] f(x'))$
(Linearität von [mm] $\blue{f}$)
[/mm]
$= [mm] \ldots$ [/mm]
Wie könnte man den Beweis jetzt zu Ende führen, wenn man noch die Linearität von $g$ ausnutzen möchte? Hast du eine Idee? Versuche es mal! 
> Außerdem habe ich eine Frage zu f o g und g o f. Ist das
> dasselbe oder gibt es einen Unterschied?
Das ist ein Unterschied. Beid $f [mm] \circ [/mm] g$ wird je zuerst $g$ angewendet und dann $f$, bei $g [mm] \circ [/mm] f$ wird zuerst $f$ angewendet und dann $g$.
Beispiel:
[mm] $g(x)=\sin(x)$
[/mm]
[mm] $f(x)=e^x$.
[/mm]
Dann ist:
$(f [mm] \circ [/mm] g)(x) = [mm] e^{\sin(x)} [/mm] $
und
$(g [mm] \circ [/mm] f)(x) = [mm] \sin(e^x)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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