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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 25.05.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Sei L die Menge aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] der Gestalt x -> ax + b mit a,b [mm] \in \IR [/mm] und a [mm] \not= [/mm] 0. Sei weiters N := [mm] \{x-> x + b, b \in \IR\}. [/mm] Man zeige:
a) L bildet eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung von Funktionen.
b) N ist ein Normalteiler von L.
c) L/N ~= (isomorph) < [mm] \IR [/mm] - [mm] \{0\}, [/mm] *> |
Hallo!
Ich hätte eine Frage bez. einer mir gestellten Aufgabe:
ad a)
g(x) = cx + d
und
f(x) = ax + b
Hintereinanderausführung:
f [mm] \circ [/mm] g = f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx+d) + b
i) Neutrales Element:
es muss folgendes gelten:
f [mm] \circ [/mm] g = f = g [mm] \circ [/mm] f
also
a( cx + d) + b = a (cx + d) + b
naive umformungen sind leider nicht zielführend.
aus anderen quellen weiß ich dass man diese gleichung auf eine polynomgleichung umformen muss und dann mittels nullpolynom auf eine gleichung kommt, die für c = 1 und d = 0 ermittelt.
ich habe derartiges aber noch nie gemacht, und habe auch nicht die leiseste ahnung wie das funktionieren könnte.
ii) Inverse
f(f^(-1)(x)) = g(x)
hier komme ich wieder auf diese komischen polynomgleichungen - von welchen ich keine ahnung habe...
iii) Abgeschlossenheit
wie zeige ich das formal? ich weiß es leider nicht...
iv) Assoziativität
wie beweise ich das mit abbildungen?
f(x) = ax + b
g(x) = cx + d
h(x) = ex + f
(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h = f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)
SYNTAKTISCH WAHRSCHEINLICH SEHR FALSCH ABER:
f(cx + d) [mm] \circ [/mm] (ex + f)
(a(cx + d) + b) [mm] \circ [/mm] (ex + f)
(a(c(ex + f) + d) + b)
(ax +b) [mm] \circ [/mm] g(ex + f)
(ax +b) [mm] \circ [/mm] (c(ex + f) + d)
(a(c(ex + f) + d) + b)
beide ausdrücke sind gleich.
bei ad d) und ad c) habe ich überhaupt keine idee - ich weiß zwar, dass man den Homomorphiesatz anwenden soll, aber nicht wie
f ist ein Homomorphismus von A nach B
A/ker(f) [mm] \cong [/mm] im(f)
vielen dank für eure hilfe!
mfg
uniklu
PS:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?topic=103732=20
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo Uniklu,
ad a) (i) neutrales Element: Du hast mit a=1 und b=0 die Identität in Deiner Menge, wenn Du das so einsetzt, dann ist das auch das Neutrale Deine Gruppe.
(und: a( cx + d) + b = a (cx + d) + b gilt immer  )
(ii) Inverse: Das Inverse Element zu ax+b muss von der Form cx+d sein. Einsetzen liefert unmittelbar c=1/a. Dann müsste d= -ab folgen (bitte nachrechnen!).
(iii) Abgeschlossenheit: Für die Abgeschlossenheit nimmst Du Dir zwei beliebige Elemente aus Deiner Menge und zeigst, dass dann die Hintereinanderausführung wieder in der Menge selbst liegt.
(iv) Assoziativität: Ist in der Regel nicht notwendig zu zeigen, folgt aus der Assoziativität von Abbildungen allgemein (Analysis-VL).
ad c) Du bildest einfach eine Abbildung ax+b auf den Term a ab. Diese Abbildung liefert Dir alles gewünschte, auch die Homomorphieeigenschaft ist relativ einfach nachzurechnen.
ad d) Die Menge N ist dann der Kern der Abbildung aus Aufgabenteil c) und damit automatisch ein Normalteiler, Du brauchst also hierfür keine weitere Mühe einzusetzen. Elementares Nachrechnen ist ziemlich lästig, aber möglich.
Liebe Grüße,
Kyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Kyle |
ad d) muss natürlich ad b) heißen
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