Hoch- und Tiefpunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 12.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt zu ermitteln, benötigt es zwei Bedingungen:
f'(x) = 0 und f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0 (Tiefpunkt)
damit kann man nun zeigen an welchen Stellen die Funktion einen Tief- bzw. Hochpunkt hat. Ein weitere Methode wäre der Vorzeichenwechsel, kurz vor und nach der Nullstelle, wenn
von - nach + dann lokales Minimum
von + nach - dann lokales Maximum
Ich setze nun Zahlenwerte kurz vor und nach der Nullstelle (waggerechte Tangente) ein, um zu sehen ob und welcher Vorzeichenwechsel erfolgt. Des Weiteren gibt es ja auch noch eine allgemeine Herangehensweise bei dem Vorzeichenwechsel, dass man nicht Werte einsetzt, sondern es so zeigt mit > und < zeigt. Könnte mir das jemand verständlich erklären, an folgender Funktion:
f(x) = x³+x²-16x-16
f'(x) = 3x²+2x-16
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = 2
Wie zeigt man nun allgemein, mit dem Vorzeichenwechsel, welcher x-Wert ein Tief- bzw. Hochpunkt ist?
Abgesehen von der Methode mit dem Vorzeichenwechsel, finde ich die erste Methode mit der zweiten Ableitung am sichersten und besten. Kann man selbst sich für eine Methode entscheiden? Oder sollte man die mit dem Vorzeichenwechsel nehmen. Im Endeffekt ist es doch egal, denn beide Methoden zielen darauf ab, welcher x-Wert ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist.
Vielen Dank im Voraus?
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Hallo itse^^
Du hast ja folgendes raus: [mm] x_{1}=-\bruch{8}{3} [/mm] und [mm] x_{2}=2.
[/mm]
Jetzt nimmst du,wie du schon richtig sagtest, Nebenwerte und setzt sie in f'(x) ein. Bei [mm] x_{1} [/mm] könntest du z.B. die Nebenwerte -3 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] und -1 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] nehmen.Jetzt setzt du diese Werte einfach für x in die erste Ableitung und schaust nach ob sich die beiden Ergebnissen von den Nebenwerten von + nach- ändern oder von- nach +.Dann weißt du ob ein Hoch-oder Tiefpunkt vorliegt.
Und es ist egal,welche Methode du benutzt,beide zielen auf das gleiche hinaus ^^
Gruß
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
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> um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt zu ermitteln, benötigt es
> zwei Bedingungen:
>
> f'(x) = 0 und f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0
> (Tiefpunkt)
>
> damit kann man nun zeigen an welchen Stellen die Funktion
> einen Tief- bzw. Hochpunkt hat. Ein weitere Methode wäre
> der Vorzeichenwechsel, kurz vor und nach der Nullstelle,
> wenn
>
> von - nach + dann lokales Minimum
> von + nach - dann lokales Maximum
>
> Ich setze nun Zahlenwerte kurz vor und nach der Nullstelle
> (waggerechte Tangente) ein, um zu sehen ob und welcher
> Vorzeichenwechsel erfolgt. Des Weiteren gibt es ja auch
> noch eine allgemeine Herangehensweise bei dem
> Vorzeichenwechsel, dass man nicht Werte einsetzt, sondern
> es so zeigt mit > und < zeigt. Könnte mir das jemand
> verständlich erklären, an folgender Funktion:
>
> f(x) = x³+x²-16x-16
> f'(x) = 3x²+2x-16
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] und [mm]x_2[/mm] = 2
>
> Wie zeigt man nun allgemein, mit dem Vorzeichenwechsel,
> welcher x-Wert ein Tief- bzw. Hochpunkt ist?
>
> Abgesehen von der Methode mit dem Vorzeichenwechsel, finde
> ich die erste Methode mit der zweiten Ableitung am
> sichersten und besten. Kann man selbst sich für eine
> Methode entscheiden? Oder sollte man die mit dem
> Vorzeichenwechsel nehmen. Im Endeffekt ist es doch egal,
> denn beide Methoden zielen darauf ab, welcher x-Wert ein
> Hoch- bzw. Tiefpunkt ist.
>
probiere mal die Methode mit der 2. Ableitung bei den Funktionen
[mm] f_1(x)=x^5 [/mm] und [mm] f_2(x)=x^6 [/mm] an der Stelle x=0.
Bei beiden ist die 2. Ableitung offensichtlich Null, aber nur bei einer liegt ein Tiefpunkt vor!
Diesen Fällen kommt man nur (oder schneller) mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium zum Ziel, bei dem man die Steigungen links und rechts der erkannten "Extremstelle" untersucht:
[mm] f_1'(x<0)>0 [/mm] und [mm] f_1'(x>0)>0 \Rightarrow [/mm] monoton steigend, also kein Extrempunkt,
[mm] f_2'(x<0)<0 [/mm] und [mm] f_1'(x>0)>0 \Rightarrow [/mm] Wechsel in der Steigung, also ein Extrempunkt.
Es gibt auch noch die Möglichkeit, solange weitere Ableitungen zu bilden, bis eine davon ungleich Null ist.
Probier mal und stell selbst eine Regel auf!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 12.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> probiere mal die Methode mit der 2. Ableitung bei den
> Funktionen
> [mm]f_1(x)=x^5[/mm] und [mm]f_2(x)=x^6[/mm] an der Stelle x=0.
>
> Bei beiden ist die 2. Ableitung offensichtlich Null, aber
> nur bei einer liegt ein Tiefpunkt vor!
>
> Diesen Fällen kommt man nur (oder schneller) mit dem
> Vorzeichenwechsel-Kriterium zum Ziel, bei dem man die
> Steigungen links und rechts der erkannten "Extremstelle"
> untersucht:
x=0
[mm] f_1'(-0,1)=5(-0,1)^4 [/mm] = 0,0005 > 0
[mm] f_1'(0,1)=5(0,1)^4 [/mm] = 0,0005 > 0
kein Vorzeichenwechsel, kein Extrempunkt
[mm] f_2'(-0,1)=6(-0,1)^5 [/mm] = - 0,00006 < 0
[mm] f_2'(0,1)=6(0,1)^5 [/mm] = 0,00006 > 0
ein Vorzeichenwechsel von - nach +, somit handelt es sich um lokalen Tiefpunkt
> [mm]f_1'(x<0)>0[/mm] und [mm]f_1'(x>0)>0 \Rightarrow[/mm] monoton steigend,
> also kein Extrempunkt,
> [mm]f_2'(x<0)<0[/mm] und [mm]f_1'(x>0)>0 \Rightarrow[/mm] Wechsel in der
> Steigung, also ein Extrempunkt.
Also reicht es, wenn man die möglichen Extremstellen bestimmt und dies dann links- und rechtsseitig auf Vorzeichenwechsel überprüft. Bei diesem Beispiel wäre das Vorzeichenkriterium nötig. Kann man sagen, dass dies zuverlässiger ist, als die Methode mit der zweiten Ableitung?
Bei mir im Buch steht als Definition für Minima bzw. Maxima:
Die Funktion f sei auf dem Intervall J differenzierbar und [mm] x_0 [/mm] sei ein innerer Punkt des Intervalls. Wenn es eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] gibt, so dass alle [mm] x_1, x_2 \in [/mm] U mit [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] gilt [mm] f'(x_1)<00>f'(x_2), [/mm] dann besitzt f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum bzw. Maximum.
Also für [mm] f(x)=x^6, x_0 [/mm] = 0, [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] umgeben [mm] x_0, [/mm] sind also die Werte mit der man die Funktion auf Vorzeichenwechsel überprüft, dazu wähle ich [mm] \epsilon, [/mm] die Umgebung 0,1, also [mm] x_1 [/mm] = -0,1 und [mm] x_2 [/mm] = 0,1, so dass gilt:
-0,1 < 0 < 0,1
[mm] f'(x)=6x^5
[/mm]
f'(-0,1) < 0 < f'(0,1) -> Minimum, Überprüfung:
[mm] f'(-0,1)=6(-0,1)^5 [/mm] < 0 < [mm] f'(0,1)=6(0,1)^5
[/mm]
also -0,00006 < 0 < 0,00006, diese Aussage ist wahr, damit ist bewiesen dass die Funktion [mm] f(x)=x^6 [/mm] bei x = 0, ein lokales Minimum hat.
f'(-0,1)>0>f'(0,1) -> Maximum, Überprüfung:
-0,00006 > 0 > 0,00006 falsche Aussage, damit ist bewiesen dass die Funktion [mm] f(x)=x^6 [/mm] bei x = 0, kein lokales Minimum hat.
Ein Beispiel aus meinem Buch:
f(x) = 2x³ - 3x² - 36x + 5
f'(x) = 6x² - 6x - 36 = 6(x² - x - 6)
dauraus ergibt sich [mm] x_1 [/mm] = -2 und [mm] x_2 [/mm] = 3, an diesen Stellen ist die Steigung Null, waagerechte Tangente, bei mir im Buch steht mit den Nullstellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] die Nullstellen scheiden die x-Achse, Kriterium für Nullstellen ist doch f(x) = 0 und nicht f'(x) = 0.
daraus wird gefolgert: f'(x) = 6 [mm] \cdot{}(x+2) \cdot{} [/mm] (x-3) 'wie nennt man diese Form?
Nun die Untersuchung, ob die Ableitung f' in ihren Nullstellen das Vorzeichen wechselt:
- Für x < -2 sind beide Faktoren (x+2) und (x-3) von f' negativ; daraus folgt: 'soweit versteh ichs ja
f'(x) > 0 für x < -2 'es müsste doch f'(x) < 0 lauten, oder?
- Für -2<x<3 gilt x+2 > 0 und x-3 < 0, also: f'(x) < 0 'versteh ich auch nicht so ganz
- Für 3 < x gilt x+2 > 0 und x-3 > 0, also: f'(x) > 0 'dauraus werd ich auch nicht schlau
Ich kann doch auch einfach, für [mm] x_1 [/mm] = -2, zum Beispiel [mm] x_2 [/mm] = -1,9 und [mm] x_3 [/mm] = -2,1 wählen auch dann schauen ob ein Vorzeichenwechsel passiert? Würde mir viel leichter fallen, als das was in meinem Buch steht. Wäre das Beispiel aus meinem Buch mathematisch treffender? Oder ist es egal, wie man es darstellt?
Vielen Dank im Voraus, itse.
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
> Ein Beispiel aus meinem Buch:
>
> f(x) = 2x³ - 3x² - 36x + 5
> f'(x) = 6x² - 6x - 36 = 6(x² - x - 6)
>
> dauraus ergibt sich [mm]x_1[/mm] = -2 und [mm]x_2[/mm] = 3, an diesen Stellen
> ist die Steigung Null, waagerechte Tangente, bei mir im
> Buch steht mit den Nullstellen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2,[/mm] die Nullstellen
> scheiden die x-Achse, Kriterium für Nullstellen ist doch
> f(x) = 0 und nicht f'(x) = 0.
>
> daraus wird gefolgert: f'(x) = 6 [mm]\cdot{}(x+2) \cdot{}[/mm] (x-3)
> 'wie nennt man diese Form?
>
> Nun die Untersuchung, ob die Ableitung f' in ihren
> Nullstellen das Vorzeichen wechselt:
>
> - Für x < -2 sind beide Faktoren (x+2) und (x-3) von f'
> negativ; daraus folgt: 'soweit versteh ichs ja
> f'(x) > 0 für x < -2 'es müsste doch f'(x) < 0 lauten,
> oder?
Es ist schon richtig, daß [mm]f'\left(x\right) > 0[/mm] sein muß, da beide Faktoren gleiches Vorzeichen besitzen:
[mm]\left(+\right)*\left(+\right)=+[/mm]
[mm]\left(-\right)*\left(-\right)=+[/mm]
>
> - Für -2<x<3 gilt x+2 > 0 und x-3 < 0, also: f'(x) < 0
> 'versteh ich auch nicht so ganz
[mm]x > -2 \wedge x < 3 \Rightarrow x+2 > 0[/mm]
[mm]x > -2 \wedge x < 3 \Rightarrow x-3 < 0[/mm]
Da beide Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben, gilt [mm]f'\left(x\right) < 0[/mm], denn
[mm]\left(+\right)*\left(-\right)=-[/mm]
[mm]\left(-\right)*\left(+\right)=-[/mm]
>
> - Für 3 < x gilt x+2 > 0 und x-3 > 0, also: f'(x) > 0
> 'dauraus werd ich auch nicht schlau
Da beide Faktoren gleiches Vorzeichen haben, ist hier [mm]f'\left(x\right) > 0[/mm]
>
>
> Ich kann doch auch einfach, für [mm]x_1[/mm] = -2, zum Beispiel [mm]x_2[/mm]
> = -1,9 und [mm]x_3[/mm] = -2,1 wählen auch dann schauen ob ein
> Vorzeichenwechsel passiert? Würde mir viel leichter fallen,
> als das was in meinem Buch steht. Wäre das Beispiel aus
> meinem Buch mathematisch treffender? Oder ist es egal, wie
> man es darstellt?
Das Beispiel aus dem Buch ist schon mathematisch treffender.
>
> Vielen Dank im Voraus, itse.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Itse,
> f(x) = x³+x²-16x-16
> f'(x) = 3x²+2x-16
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] und [mm]x_2[/mm] = 2
>
> Wie zeigt man nun allgemein, mit dem Vorzeichenwechsel,
> welcher x-Wert ein Tief- bzw. Hochpunkt ist?
Ich würde in diesem Fall folgendermaßen argumentieren:
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind einfache Nullstellen der ersten Ableitung,
daraus folgt, dass an diesen Stellen sich das Vorzeichen der Steigung ändert, das heißt es handelt sich um Extremstellen.
Jetzt schau ich mir die Funktion an. Es ist eine Polynomfunktion mit [mm] x^3 [/mm] als höchste Potenz. Das heißt sie kommt von "links unten", also ist die erste Extremstelle ein Minimum und die zweite ein Maximum.
Ich hoffe du kennst schon die Vielfachheit von Nullstellen.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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