Hoch-und Tiefpunktberechnung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechne alle möglichen Hoch- und Tiefpunkte der Funktion: f(x)=sin(x²) |
Ich hab schon ziemlich weit gerechnet, aber bis zu nem gewissen Punkt komm ich nicht weiter.
Ableitungen:
f'(x)=2x*cos(x²)
f''(x)=2*cos(x²)-4x²*sin(x²)
Extremstellen:
f'(x)=2x*cos(x²)=0 |( :2x)
[mm] =>x1=0+k*2*\pi
[/mm]
[mm] cos(x²)=0+k*2*\pi [/mm] | arccos ()
[mm] x²=(\pi/2)+k*2*\pi
[/mm]
=>x2=+ [mm] \wurzel{(\pi/2)+k*2*\pi}
[/mm]
=>x3=- [mm] \wurzel{(\pi/2)+k*2*\pi}
[/mm]
Ja, x1,x2,x3 sind ja meine Extremstellen. Doch wie komm ich darauf, ob diese nun Hoch-und/oder Tiefpunkte sind?
Mein Lehrer hatte noch ne Formel für cos angeschrieben:
x1,2=+- [mm] \wurzel{\pi/2)+k*\pi}
[/mm]
Ich soll aber nur die Variante mit "+" berechnen und für "k" jeweils 1,2 und 3 einsetzen.
Ich denke und hoffe, das ist für euch nicht zu schwer, aber ich hab leider keine Ahnung, wie ich das machen soll :(
Vielen Dank schonmal im Vorraus.
LG
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Extremstellen-fxsinx2
|
|
| |
|
Hallo Savodka89,
> Berechne alle möglichen Hoch- und Tiefpunkte der Funktion:
> f(x)=sin(x²)
> Ich hab schon ziemlich weit gerechnet, aber bis zu nem
> gewissen Punkt komm ich nicht weiter.
>
> Ableitungen:
> f'(x)=2x*cos(x²)
> f''(x)=2*cos(x²)-4x²*sin(x²)
>
> Extremstellen:
> f'(x)=2x*cos(x²)=0 |( :2x)
> [mm]=>x1=0+k*2*\pi[/mm]
Die Nullstellen des Cosinus sind [mm]\pi[/mm]-periodisch.
>
> [mm]cos(x²)=0+k*2*\pi[/mm] | arccos ()
> [mm]x²=(\pi/2)+k*2*\pi[/mm]
>
> =>x2=+ [mm]\wurzel{(\pi/2)+k*2*\pi}[/mm]
> =>x3=- [mm]\wurzel{(\pi/2)+k*2*\pi}[/mm]
>
> Ja, x1,x2,x3 sind ja meine Extremstellen. Doch wie komm ich
> darauf, ob diese nun Hoch-und/oder Tiefpunkte sind?
Das kannst Du über den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung entscheiden.
>
> Mein Lehrer hatte noch ne Formel für cos angeschrieben:
> x1,2=+- [mm]\wurzel{\pi/2)+k*\pi}[/mm]
> Ich soll aber nur die Variante mit "+" berechnen und für
> "k" jeweils 1,2 und 3 einsetzen.
Nach dieser Formel, die Dein Leherer angeschrieben hat, gilt:
[mm]x^{2}=\bruch{\pi}{2}+k*\pi[/mm]
Setze dies nun in die 2. Ableitung ein.
Das kannst Du allgemein machen oder für jeden k-Wert einzeln.
>
> Ich denke und hoffe, das ist für euch nicht zu schwer, aber
> ich hab leider keine Ahnung, wie ich das machen soll :(
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus.
> LG
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Extremstellen-fxsinx2
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Di 13.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Savodka!
> Extremstellen:
> f'(x)=2x*cos(x²)=0 |( :2x)
> [mm]=>x1=0+k*2*\pi[/mm]
Durch den Term $2x \ = \ 0$ erhältst Du doch eine eindeutige Nullstelle (ohne Periode) mit [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
