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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Die Abbildung $p: [mm] S^1 \times S^3 \to S^1 \times S^3, [/mm] (z,x) [mm] \mapsto (z^3,x)$ [/mm] (wobei [mm] $S^1$ [/mm] als Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] aufgefasst wird), ist eine Überlagerung. Existiert zu gegebener Abbildung $f: [mm] \IR{P}^4 \to S^1 \times S^3$ [/mm] eine Abbildung $F: [mm] \IR{P}^4 \to S^1 \times S^3$ [/mm] mit $pF = [mm] F\;$?
[/mm]
[mm] ($\IR{P}^4$ [/mm] bezeichnet die reelle projektive Ebene). |
Hallo,
leider komme ich nicht so richtig weiter bei dieser Aufgabe.
Die Frage ist ja, ob eine Hochhebung von [mm] $F\;$ [/mm] bezüglich der Überlagerung [mm] $p\;$ [/mm] existiert. [mm] $p\;$ [/mm] ist eine Überlagerung vom Grad 3.
Wir haben in der Vorlesung 3 Sätze zur Existenz von Hochhebungen behandelt, die ersten beiden bezogen sich jedoch auf Wege bzw. Homotopien. Diese kann ich hier ja nicht anwenden.
Des weiteren hatten wir den allgemeinen Hochhebungssatz. Dieser würde mir im Fall [mm] $im(f_{\*}:\pi_1(\IR{P}^4) \to \pi_1(S^1 \times S^3)) \subset im(p_{\*}:\pi_1(S^1 \times S^3) \to \pi_1(S^1 \times S^3))$ [/mm] die Existenz einer Hochhebung garantieren.
Ich weiß, dass [mm] $\pi_1(S^1 \times S^3) \cong \IZ$ [/mm] ist und [mm] $im(f_{\*}:\pi_1(\IRP^4) \to \pi_1(S^1 \times S^3)) \cong 3\IZ \subset \IZ$.
[/mm]
Aber ich weiß nicht, was die Fundamentalgruppe der projektiven Ebene ist. Und wir haben bisher auch kaum Hilfsmittel kennen gelernt, eine Fundamentalgruppe zu bestimmen. Ich denke also, dass wir gar nicht mit dem Satz arguemtieren sollen, sondern vielleicht anders.
Hat jemand eine Idee, wie ich weiter kommen könnte?
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Do 17.11.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Die Abbildung [mm]p: S^1 \times S^3 \to S^1 \times S^3, (z,x) \mapsto (z^3,x)[/mm]
> (wobei [mm]S^1[/mm] als Teilmenge von [mm]\IC[/mm] aufgefasst wird), ist eine
> Überlagerung. Existiert zu gegebener Abbildung [mm]f: \IR{P}^4 \to S^1 \times S^3[/mm]
> eine Abbildung [mm]F: \IR{P}^4 \to S^1 \times S^3[/mm] mit [mm]pF = F\;[/mm]?
>
> ([mm]\IR{P}^4[/mm] bezeichnet die reelle projektive Ebene).
> Hallo,
>
> leider komme ich nicht so richtig weiter bei dieser
> Aufgabe.
> Die Frage ist ja, ob eine Hochhebung von [mm]F\;[/mm] bezüglich
> der Überlagerung [mm]p\;[/mm] existiert. [mm]p\;[/mm] ist eine Überlagerung
> vom Grad 3.
>
> Wir haben in der Vorlesung 3 Sätze zur Existenz von
> Hochhebungen behandelt, die ersten beiden bezogen sich
> jedoch auf Wege bzw. Homotopien. Diese kann ich hier ja
> nicht anwenden.
> Des weiteren hatten wir den allgemeinen Hochhebungssatz.
> Dieser würde mir im Fall [mm]im(f_{\*}:\pi_1(\IR{P}^4) \to \pi_1(S^1 \times S^3)) \subset im(p_{\*}:\pi_1(S^1 \times S^3) \to \pi_1(S^1 \times S^3))[/mm]
> die Existenz einer Hochhebung garantieren.
> Ich weiß, dass [mm]\pi_1(S^1 \times S^3) \cong \IZ[/mm] ist und
> [mm]im(f_{\*}:\pi_1(\IRP^4) \to \pi_1(S^1 \times S^3)) \cong 3\IZ \subset \IZ[/mm].
>
Du meinst [mm]Im( p_{*})[/mm].
> Aber ich weiß nicht, was die Fundamentalgruppe der
> projektiven Ebene ist. Und wir haben bisher auch kaum
Hmm. Das bräuchte man hier schon (zumindest sehe ich gerad keinen anderen Weg). Naja, die Fundamentalgruppe der projektiven Räume ist in Dimension > 1 [mm] \mathbb{Z}_{2} [/mm].
Das einzusehen ist auch nicht so schwer, denn die universelle Überlagerung [mm]S^{n}\to \mathbb{R}P^{n}[/mm] ist zweiblättrig (ich denke du kennst das; man identifiziert einfach gegenüberliegende Punkte).
Damit läßt sich die Aufgabe dann recht gut lösen.
> Hilfsmittel kennen gelernt, eine Fundamentalgruppe zu
> bestimmen. Ich denke also, dass wir gar nicht mit dem Satz
> arguemtieren sollen, sondern vielleicht anders.
> Hat jemand eine Idee, wie ich weiter kommen könnte?
>
> LG Lippel
Beste Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Do 17.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Danke! Hatte nicht dran gedacht, dass ich über die Decktransformationen die Fundamentalgruppe bestimmen kann. Super, damit gehts dann natürlich.
LG
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