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Hochpunktberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Sa 03.02.2007
Autor: naomilkmathe

Aufgabe
Von einem quadratischen Stück Pappe mit der Seite a=6cm werden an den Ecken Quadrate abgeschnitten. Wie groß müssen die auszuschneidenden Quadrate sein, damit die Raumdiagonale der entstehenden Schachtel einen Extremwert annimmt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich weiß aber nicht, falls der Ansatz richtig ist, wie ich die 1. Ableitung nach 0 auflösen soll. Es sollte ein Hochpunkt rauskommen, das weiß ich.

[mm] r(x)=[x^2+2(6-2x)^2]^1/2=3*(x^2-16/3*x+8)^1/2 [/mm]
[mm] r'(x)=1,5/(x^2- [/mm] 16/3*x [mm] +8)^1/2=0 [/mm]

(das 1/2  nach der Klammer ist 0,5. Damit meine ich die Wurzel aus dem Umklammerten, da die zweite wurzel ziehen dasselbe ist wie hoch 0,5)

Dies ist mein Ansatz. x ist die Seitenlänge des auszuschneidenden Quadrats.


Es wäre wirklich nett ,wenn mir jemand hilft.
        
Bezug
Hochpunktberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Sa 03.02.2007
Autor: leduart

Hallo
Es gibt da nen einfachen Trick: wenn r(x) maximal ist, dann auch [mm] r^2(x) [/mm] dann musst du dich nicht mit wurzeln rumschlagen. den "Trick" sollte man sich fuer alle solche Aufgaben merken.
Aber in deiner Ableitung ist ein Fehler, du hast die kettenregel nicht beachtet! d.h. im Zaehler steht noch die Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel, der muss dann 0 sein, wenn dus so rechnest!
Gruss leduart
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Hochpunktberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Sa 03.02.2007
Autor: naomilkmathe

Heißt das die Ableitung ist (18x-48) / (9x-24)^ 1/2?
Muss ich dann für die zweite Ableitung wieder die Kettenregel für das verwenden, was unter dem Bruchstrich steht?
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Bezug
Hochpunktberechnung: immer noch falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Sa 03.02.2007
Autor: Loddar

Hallo naomilkmathe!

> Heißt das die Ableitung ist (18x-48) / (9x-24)^ 1/2?

Das stimmt leider immer noch nicht. Der Nenner war in der obigen Antwort schon so gut wie richtig mit dem Wurzelterm. Und in den Zähler gehört dann die innere Ableitung mit [mm] $\left(x^2-\bruch{16}{3}*x+8\right)' [/mm] \ = \ ...$


> Muss ich dann für die zweite Ableitung wieder die Kettenregel für das
> verwenden, was unter dem Bruchstrich steht?

[ok] Genau.


Gruß
Loddar

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Hochpunktberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Sa 03.02.2007
Autor: naomilkmathe

Sorry, aber ich versteh nicht wie du das meinst.
Könntest du mir nicht direkt die Lösung sagen.

Spielt die 3 vor der wurzel in der Ausgangsfunktion denn für die Ableitung keine Rolle?
Es wäre doch besser von dieser Ausgangsfunktion zu beginnen: r(x)= [mm] (9x^2 [/mm] -48x+72)^ 1/2.
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Hochpunktberechnung: mit Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Sa 03.02.2007
Autor: Loddar

Hallo naomilkmathe!


Auch ich würde Dir raten, anstelle der Funktion $r(x)_$ mit der Ersatzfunktion $f(x) \ =\ [mm] [r(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] 9x^2-48x+72$ [/mm] zu rechnen.

Denn schließlich ist die Wurzelfunktion auch dort maximal/minimal, wo das Argument unter der Wurzel maximal bzw. minimal ist. Und Du hättest zum Ableiten nicht mehr diese "lästige" Wurzelfunktion.


Aber selbstverständlich lässt sich auch die Funktion $r(x) \ = \ [mm] \wurzel{9x^2-48x+72} [/mm] \ = \ [mm] \left(9x^2-48x+72\right)^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] ableiten.

Dafür müssen wir nun die MBPotenzregel in Verbindung mit der MBKettenregel anwenden:

$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{2}*\left(9x^2-48x+72\right)^{-\bruch{1}{2}}}_{\text{äußere Ableitung}}*\underbrace{\left(9x^2-48x+72\right)'}_{\text{innere Ableitung}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{18x-48}{2*\wurzel{9x^2-48x+72}}$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Hochpunktberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Sa 03.02.2007
Autor: naomilkmathe

Vielen Dank, dass du mir so geduldig geholfen hast. Schön, dass es solche menschen gibt.
Bezug
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