Höhenlinien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
a) [mm] z=x^2+y^2-2y [/mm] |
Hi,
habe diese Aufgabe schon auf matheboard gepostet (bin aber nicht mit dem Ergebnis zufrieden deshalb frage ich nochmal hier).
Ich weiß nicht wie man diese Aufgabe lösen kann. Habe die gleiche Aufgabe schon hier auf dem Board gefunden:
matheraum.de/forum/Hoehenlinien/t814716
Kann aber leider nichts mit dem Tipp anfangen:
Man soll die Ausgangsgleichung [mm] z=x^2+y^2-2y [/mm] in die Kreisgleichung
[mm] \left(x-m_{1}\right)^{2}+\left(y-m_{2}\right)^{2}=r^{2} [/mm] umwandeln.
Kreisgleichung: [mm] z+1=x^2+(y-1)^2 [/mm] (fehlt da beim z noch ^2 ?)
Jetzt soll man eine Fallunterscheidung nach z vornehmen.
Ich versteh nicht wie man das machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:24 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Himalia!
> Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
> a) [mm]z=x^2+y^2-2y[/mm]
> Hi,
>
> habe diese Aufgabe schon auf matheboard gepostet (bin aber
> nicht mit dem Ergebnis zufrieden deshalb frage ich nochmal
> hier).
>
> Ich weiß nicht wie man diese Aufgabe lösen kann. Habe die
> gleiche Aufgabe schon hier auf dem Board gefunden:
>
> matheraum.de/forum/Hoehenlinien/t814716
>
> Kann aber leider nichts mit dem Tipp anfangen:
>
> Man soll die Ausgangsgleichung [mm]z=x^2+y^2-2y[/mm] in die
> Kreisgleichung
>
> [mm]\left(x-m_{1}\right)^{2}+\left(y-m_{2}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
> umwandeln.
>
> Kreisgleichung: [mm]z+1=x^2+(y-1)^2[/mm] (fehlt da beim z noch ^2
> ?)
Wenn die Aufgabenstellung so korrekt ist, "fehlt" da nix. Du kannst aber mit Gewalt ein Quadrat erzeugen:
[mm](\sqrt{z+1})^2=x^2+(y-1)^2[/mm]
> Jetzt soll man eine Fallunterscheidung nach z vornehmen.
> Ich versteh nicht wie man das machen soll.
Vielleicht jetzt? Wann darf man denn die Gleichung so umschreiben, wie ich es oben getan habe?
Wie sehen die Höhenlinien aus, wenn
a) man in eine "richtige" Kreisgleichung umformen kann? Gibt es dann überhaupt welche?
b) es nicht geht? Gibt es dann überhaupt welche?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Himalia!
>
> > Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
> > a) [mm]z=x^2+y^2-2y[/mm]
> > Hi,
> >
> > habe diese Aufgabe schon auf matheboard gepostet (bin
> aber
> > nicht mit dem Ergebnis zufrieden deshalb frage ich
> nochmal
> > hier).
> >
> > Ich weiß nicht wie man diese Aufgabe lösen kann. Habe
> die
> > gleiche Aufgabe schon hier auf dem Board gefunden:
> >
> > matheraum.de/forum/Hoehenlinien/t814716
> >
> > Kann aber leider nichts mit dem Tipp anfangen:
> >
> > Man soll die Ausgangsgleichung [mm]z=x^2+y^2-2y[/mm] in die
> > Kreisgleichung
> >
> > [mm]\left(x-m_{1}\right)^{2}+\left(y-m_{2}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
> > umwandeln.
> >
> > Kreisgleichung: [mm]z+1=x^2+(y-1)^2[/mm] (fehlt da beim z noch
> ^2
> > ?)
>
> Wenn die Aufgabenstellung so korrekt ist, "fehlt" da nix.
> Du kannst aber mit Gewalt ein Quadrat erzeugen:
> [mm](\sqrt{z+1})^2=x^2+(y-1)^2[/mm]
>
> > Jetzt soll man eine Fallunterscheidung nach z vornehmen.
> > Ich versteh nicht wie man das machen soll.
Hallo,
die rechte Seite ist immer größer oder gleich Null. Der Term auf der linken Seite kann manchmal auch negativ sein.
Gruß Abakus
>
> Vielleicht jetzt? Wann darf man denn die Gleichung so
> umschreiben, wie ich es oben getan habe?
> Wie sehen die Höhenlinien aus, wenn
> a) man in eine "richtige" Kreisgleichung umformen kann?
> Gibt es dann überhaupt welche?
> b) es nicht geht? Gibt es dann überhaupt welche?
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
> a) [mm]z=x^2+y^2-2y[/mm]
> Hi,
>
> habe diese Aufgabe schon auf matheboard gepostet (bin aber
> nicht mit dem Ergebnis zufrieden deshalb frage ich nochmal
> hier).
>
> Ich weiß nicht wie man diese Aufgabe lösen kann. Habe die
> gleiche Aufgabe schon hier auf dem Board gefunden:
>
> matheraum.de/forum/Hoehenlinien/t814716
>
> Kann aber leider nichts mit dem Tipp anfangen:
>
> Man soll die Ausgangsgleichung [mm]z=x^2+y^2-2y[/mm] in die
> Kreisgleichung
>
> [mm]\left(x-m_{1}\right)^{2}+\left(y-m_{2}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
> umwandeln.
>
> Kreisgleichung: [mm]z+1=x^2+(y-1)^2[/mm] (fehlt da beim z noch ^2
> ?)
>
> Jetzt soll man eine Fallunterscheidung nach z vornehmen.
> Ich versteh nicht wie man das machen soll.
>
Mach es so:
Sei
$ [mm] f(x,y)=x^2+y^2-2y [/mm] $
Für (festes) c [mm] \in \IR [/mm] hast Du die Höhenlinie
[mm] H_c=\{(x,y) \in \IR^2: f(x,y)=c\}
[/mm]
Nun gilt:
f(x,y)=c [mm] \gdw x^2+(y-1)^2=c+1
[/mm]
Fall 1: c+1<0. Ist Dir klar, dass dan [mm] H_c= \emptyset [/mm] ist ?
Fall 2: c+1=0. Dann ist [mm] H_c=\{(0,1)\}
[/mm]
Fall 3: c+1>0. Jetzt Du: was ist [mm] H_c [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Ich denke mal das Fall1: c+1<0 außerhalb des Kreises liegt und deshalb eine leere Menge ergibt oder ?
Fall2: c+1=0 liegt genau auf dem Kreis ?
Fall3: c+1>0 liegt innerhalb des Kreises ?
Bei Hc müssten alle Werte erlaubt sein außer x=0 und y=1.
[mm] Hc=\left\{ x\in\mathbb R|(x\neq 0) \right\} \cup \left\{ y\in\mathbb R|(y\neq 1) \right\} [/mm] Kann man das so schreiben ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Ich denke mal das Fall1: c+1<0 außerhalb des Kreises liegt
> und deshalb eine leere Menge ergibt oder ?
>
> Fall2: c+1=0 liegt genau auf dem Kreis ?
>
> Fall3: c+1>0 liegt innerhalb des Kreises ?
>
> Bei Hc müssten alle Werte erlaubt sein außer x=0 und
> y=1.
>
> [mm]Hc=\left\{ x\in\mathbb R|(x\neq 0) \right\} \cup \left\{ y\in\mathbb R|(y\neq 1) \right\}[/mm]
> Kann man das so schreiben ?
Nein, das ist völliger Unfug.
Wir waren schon mal so weit, dass wir eine Kreisgleichung vorliegen haben, in der der Term
c+1 die Rolle von [mm] $r^2$ [/mm] übernimmt.
Es muss also c mindestens größer als -1 sein, damit ein solcher Kreis überhaupt existiert.
Für c<-1 gibt es gar keinen Kreis.
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Sorry, aber ich stehe gerade voll auf der Leitung.
Habe leider auch nicht so viele Informationen über dieses Thema!
Das einzige was ich gefunden habe ist dies (Seite2):
http://juliaw86.files.wordpress.com/2009/01/kreisgleichung.pdf
Aber das ist ja irgendwie Unfug :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
>
> Sorry, aber ich stehe gerade voll auf der Leitung.
> Habe leider auch nicht so viele Informationen über dieses
> Thema!
> Das einzige was ich gefunden habe ist dies (Seite2):
>
> http://juliaw86.files.wordpress.com/2009/01/kreisgleichung.pdf
>
> Aber das ist ja irgendwie Unfug :(
>
>
Hallo Himalia,
was du hier brauchst ist folgendes Wissen:
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(a|b) und dem Radius r wird durch folgende Gleichung beschrieben:
[mm](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/mm].
In deinem konkreten Fall kannst du
[mm]x^2+(y-1)^2 = z+1[/mm] auch schreiben als
[mm](x-0)^2+(y-1)^2=(\sqrt{z+1})^2 [/mm].
Somit ergibt sich für jedes z (besser gesagt: für jedes z, wo das so funktioniert - siehe Fallunterscheidung) ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(0|1) und dem Radius [mm]\sqrt{z+1}[/mm].
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Also für jedes z>=-1 oder ?
Wurzel 0 kann man ja noch als Punkt darstellen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
>
> Also für jedes z>=-1 oder ?
>
> Wurzel 0 kann man ja noch als Punkt darstellen.
Richtig.
Für z=-1 ist die Höhenlinie nur ein einzelner Punkt.
Für größere z sind alle Höhenlinien Kreise.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Etwa so ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Etwa so ?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
So ungefähr, man sieht nur das Räumliche hier nicht so gut..
Schau mal hier:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%3Dx%5E2%2By%5E2-2y
und klicke im 3D-plot auf "show contour lines".
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Danke :)
Habe noch so eine Aufgabe. Hier ist es kein Kreis. Muss man dann auch ne Fallunterscheidung machen ?
Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
b) z=3x+6y
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Danke :)
>
> Habe noch so eine Aufgabe. Hier ist es kein Kreis. Muss man
> dann auch ne Fallunterscheidung machen ?
Nein. Hier gibt es zu JEDEM z (sogar unendlich viele) Paare (x,y) , die die Gleichung erfüllen.
Für z=0 gibt es z.B. folgende Tripel (x,y,z):
(-2,1,0)
(-4,2,0)
(5,-2.5, 0)
...
Für z=-12 gibt es z.B. folgende Tripel (x,y,z):
(-2,-1,-12)
(-4,0,-12)
(2,-3, -12)
...
Gruß Abakus
>
> Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
> b) z=3x+6y
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Noch eine letzte Aufgabe:
z= [mm] \wurzel{y-x^2} [/mm]
Hier muss doch [mm] x^2=0 [/mm] sein und y>=0 sein oder ?
P(0,y,z)
y=0 bis [mm] \infty [/mm]
Mal ein Beispiel:
z= [mm] \wurzel{y-x^2} [/mm]
x=0
y=1
Folgt daraus z=1 ? ---> P(0,1,1) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Noch eine letzte Aufgabe:
> z= [mm]\wurzel{y-x^2}[/mm]
>
>
> Hier muss doch [mm]x^2=0[/mm] sein und y>=0 sein oder ?
Nein.
Es genügt, wenn y größer oder gleich [mm] $x^2$ [/mm] ist.
Dazu ist als Mindestvoraussetzung tatsächlich erforderlich, dass y>=0 gilt. Für ausreichend große y darf [mm] $x^2$ [/mm] auch größer als 0 sein.
Gruß Abakus
>
> P(0,y,z)
> y=0 bis [mm]\infty[/mm]
>
> Mal ein Beispiel:
>
> z= [mm]\wurzel{y-x^2}[/mm]
>
> x=0
> y=1
>
> Folgt daraus z=1 ? ---> P(0,1,1) ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Himalia |
Danke vielmals :)
Auch, wenn ich mir nicht sicher bin ob ich es zu 100% verstanden habe XD
Aber im Grunde genommen muss man einfach genug Werte für x und y einsetzen die keine Regeln verletzen um möglichst viele Punkte zu erhalten die man einzeichnen kann.
Jedenfalls, wenn mans nur skizzieren muss^^
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