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Forum "Analysis des R1" - Hölder Ungleichung
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Hölder Ungleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Sa 11.12.2010
Autor: christi

Hallo!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich muss nachprüfen, ob die Hölder Ungleichung für p=3/4 und
alle Funktionen f,g (beschränkt und stetig) mit [mm] f\ge{c}>0,g\ge{c}>0 [/mm] auf [a,b] gilt.
Wenn p=3/4, dann ist q=-3
die Hölder Ungleichung sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] \vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^p}^{1/p}\pmat{\int_a^b|g|^q}^{1/q} [/mm]
p und q eingsetzt sollte gelten:
[mm] \vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^{3/4}}^{4/3}\pmat{\int_a^b|g|^{-3}}^{-1/3} [/mm]
Aber wie prüft man so was?
Kriege das irgendwie nicht auf die Reihe!
Wäre schön wenn mir jemand helfen würde.
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße


        
Bezug
Hölder Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Sa 11.12.2010
Autor: christi

Kann mir denn keiner helfen?
Bitte!!!


Bezug
        
Bezug
Hölder Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Sa 11.12.2010
Autor: felixf

Moin!

>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  ich muss nachprüfen, ob die Hölder Ungleichung für
> p=3/4 und
>   alle Funktionen f,g (beschränkt und stetig) mit
> [mm]f\ge{c}>0,g\ge{c}>0[/mm] auf [a,b] gilt.

Was soll [mm] $f\ge{c}>0$ [/mm] bedeuten? Soll $f$ durch eine Konstante von 0 weg verschoben sein? Oder bedeutet das $c$ in den geschweiften Klammern (siehe LaTeX-Code) etwas spezielles?

>  Wenn p=3/4, dann ist q=-3

[ok]

>  die Hölder Ungleichung sieht dann folgendermaßen aus:
>  [mm]\vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^p}^{1/p}\pmat{\int_a^b|g|^q}^{1/q}[/mm]
> p und q eingsetzt sollte gelten:
>  [mm]\vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^{3/4}}^{4/3}\pmat{\int_a^b|g|^{-3}}^{-1/3}[/mm]
> Aber wie prüft man so was?

In dem du einfache (aber nicht zu einfache!) Funktionen, die die Voraussetzungen erfuellen, einsetzt und guckst ob es stimmt.

Hast du mal ein paar probiert? Und wenn ja, welche?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Hölder Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Sa 11.12.2010
Autor: christi

Hallo, Felix!!
Vielen Dank für deine Antwort, das ist sehr nett von dir!!!

Ich habe die zwei Funktionen genommen: [mm] f=x^4 [/mm] und [mm] g=x^2. [/mm]
Sie sind beide auf dem Intervall [1,2] größer als 1. Dann gilt:
[mm] A=\vmat{ \int_1^2x^4x^2dx}=\vmat{ \int_1^2x^6dx}=\vmat{ [\bruch{1}{7}x^7]_1^2}=\vmat{\bruch{2^7}{7}-\bruch{1}{7}}=\vmat{\bruch{128}{7}-\bruch{1}{7}}=\bruch{127}{7} [/mm]
[mm] B=\pmat{ \int_1^2|x^4|^{3/4}}^{4/3}=\pmat{ \int_1^2x^3}^{4/3}=\pmat{ [\bruch{1}{4}x^4]_1^2}^{4/3}=\pmat{ \bruch{16}{4}-\bruch{1}{4}}^{4/3}=\pmat{ \bruch{15}{4}}^{4/3} [/mm]
[mm] C=\pmat{ \int_1^2|x^2|^{-3}}^{-1/3}=\pmat{ \int_1^2x^{-6}}^{-1/3}=\pmat{[-\bruch{1}{5}x^{-5}]_1^2}^{-1/3}=\pmat{[-\bruch{1}{160}+\bruch{1}{5}}^{-1/3}=\pmat{\bruch{31}{160}}^{-1/3}=\pmat{\bruch{160}{31}}^{1/3} [/mm]
BC=8,076
A=18,14
Das bedeutet, dass [mm] A\ge{BC} [/mm] und die Ungleichung gilt nicht.
stimmt das so?
Vielen Dank
Beste Grüße

Bezug
                        
Bezug
Hölder Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Sa 11.12.2010
Autor: felixf

Moin!

>  Vielen Dank für deine Antwort, das ist sehr nett von
> dir!!!

Bitte :)

> Ich habe die zwei Funktionen genommen: [mm]f=x^4[/mm] und [mm]g=x^2.[/mm]

Ich hatte einfach $f = x$ geonmmen mit dem geichen Intervall, das geht auch ;-)

> Sie sind beide auf dem Intervall [1,2] größer als 1. Dann
> gilt:
>  [mm]A=\vmat{ \int_1^2x^4x^2dx}=\vmat{ \int_1^2x^6dx}=\vmat{ [\bruch{1}{7}x^7]_1^2}=\vmat{\bruch{2^7}{7}-\bruch{1}{7}}=\vmat{\bruch{128}{7}-\bruch{1}{7}}=\bruch{127}{7}[/mm]
>  
> [mm]B=\pmat{ \int_1^2|x^4|^{3/4}}^{4/3}=\pmat{ \int_1^2x^3}^{4/3}=\pmat{ [\bruch{1}{4}x^4]_1^2}^{4/3}=\pmat{ \bruch{16}{4}-\bruch{1}{4}}^{4/3}=\pmat{ \bruch{15}{4}}^{4/3}[/mm]
>  
> [mm]C=\pmat{ \int_1^2|x^2|^{-3}}^{-1/3}=\pmat{ \int_1^2x^{-6}}^{-1/3}=\pmat{[-\bruch{1}{5}x^{-5}]_1^2}^{-1/3}=\pmat{[-\bruch{1}{160}+\bruch{1}{5}}^{-1/3}=\pmat{\bruch{31}{160}}^{-1/3}=\pmat{\bruch{160}{31}}^{1/3}[/mm]
>  
> BC=8,076
>  A=18,14
>  Das bedeutet, dass [mm]A\ge{BC}[/mm] und die Ungleichung gilt
> nicht.

Du brauchst schon $A > B C$. Aber das ist hier auch der Fall ;-)

(Disclaimer: ich hab das jetzt nicht exakt nachgerechnet, aber es sieht richtig aus soweit.)

LG Felix


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Hölder Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Sa 11.12.2010
Autor: christi

Vielen vielen Dank!!
Beste Grüße

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