Hohe Potenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
welches ist die größte Zahl, die man mit 5 gleichen Ziffern darstellen kann?
Beispiel: 6^(66^66) Geht es nicht größer? Und: Wie ist der Beweis? Beim Rechnen gehen alle online-Rechner für große Zahlen in die Knie.
Gruß,Ferma
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Hallo Ferma,
eine Abschätzung per Logarithmus kannst du auch ohne online-Rechner hinbekommen.
Hier gehst Du am besten induktiv vor. Was ist die größte Zahl, die man mit einer Ziffer darstellen kann? Das wirft schon die Frage auf, ob Fakultäten erlaubt sind. Wenn ja, ist $ 9! $ die richtige Antwort, wenn nein, dann eben nur 9.
Wie ist es mit 2 einstelligen Zahlen? Und dann mit 3?
Die Lösung ist eigentlich relativ offensichtlich und natürlich deutlich größer als [mm] 9^{99^{99}}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
1. 2
2. [mm] 2^2=4
[/mm]
3. 2^22=?
4. 2^(2^22)=?
5. 2^(2^(2^22))=?
Kann das so sein? Wenn ja, wie geht der Beweis?
Gruß
Ferma
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Hallo Ferma,
was tust Du da eigentlich? Suchst Du noch nach der größten Zahl, die aus fünf einstelligen Zahlen darstellbar ist?
Ich lasse die Fakultäten mal weg, weil ich nicht weiß, ob sie erlaubt sind.
Aus einer Ziffer lässt sich als größtes also die 9 (neun, nicht zwei!) bilden.
Nehmen wir eine zweite einstellige Zahl hinzu, so wird das wieder eine 9 sein. Was können wir nun damit tun?
Wir können 9-9=0 bilden.
oder 9+9=18
oder 9/9=1
oder 9*9=81 (ah, schon besser)
oder vielleicht den Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{9\\9}=1
[/mm]
oder [mm] 9^9=387420489
[/mm]
und besser gehts (ohne Fakultäten nicht).
Generell wirst Du zeigen können (und vielleicht sogar müssen), dass Potenzieren das größte Ergebnis erzielt.
Ab hier musst Du die Zahl gar nicht mehr berechnen, weder online noch offline. Es genügt zu zeigen, welche "Rechenkombination" das größte Ergebnis bringt, und dazu muss man sich nur noch eins überlegen, anhand der gleichen Aufgabe, jetzt für drei einstellige Zahlen:
Es ist [mm] 99^9<9^{81}=9^{9*9}=\blue{\left(9^9\right)^9}<9^{99}\blue{<9^\left(9^9\right)} \black{=9^{387420489}}
[/mm]
Es genügt dabei, sich auf das blau markierte zu beschränken.
Damit findest Du sicher den Weg für vier einstellige Zahlen. Und dann für 5. Und wie gesagt, Du musst die Zahl überhaupt nicht bestimmen oder ausrechnen!
Es genügt zu wissen, dass es mit den gegebenen Einschränkungen keine größere Lösung geben kann.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
ich soll diese Aufgabe mit den Zahlen 1,2,3,4,5 lösen. Mit 1 => 11^111.
Nur Potenzen sind erlaubt. Bei 2 und 3 ist das Problem anders als bei 4 und 5.
22 [mm] >2^2 [/mm] und [mm] 33>3^3. [/mm] Erst 44 ist kleiner [mm] als4^4. [/mm] Deswegen habe ich in meinem vorigen Beitrag die letzte Potenz 22 und nicht [mm] 2^2 [/mm] angegeben. Ich habe keine Ahnung, wie man die Potenzen so in "Etagen" schreibt. Mit 5 Fünfen, denke ich, ist die größt mögliche Zahl: 5 als Basis und dann 4 Mal die 5
als Potenz der Potenz ...Ich versuche es mit Klammern:
[mm] 5^{5^(5^(5^5))}. [/mm] So ähnlich die 4. Mit 2 und 3 stelle ich mir das so vor:3^(3^(3 ^33)))
Gruß
Ferma
PS
ich sehe gerade in der Vorschau, dass mein Text mit den Klammern automatisch verändert wird. Also 5- hoch-Klammer-5-hoch-Klammer-5-hoch-Klammer-5-hoch-5-drei schließende Klammern.
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N'Abend.
> ich soll diese Aufgabe mit den Zahlen 1,2,3,4,5 lösen.
Och, auch keine schädliche Information für die Aufgabe...
> Mit 1 => 11^111.
> Nur Potenzen sind erlaubt.
Mensch, ich hätte gern weiter geraten.
> Bei 2 und 3 ist das Problem
> anders als bei 4 und 5.
Wohl wahr.
> 22 [mm]>2^2[/mm] und [mm]33>3^3.[/mm] Erst 44 ist kleiner [mm]als4^4.[/mm] Deswegen
> habe ich in meinem vorigen Beitrag die letzte Potenz 22 und
> nicht [mm]2^2[/mm] angegeben. Ich habe keine Ahnung, wie man die
> Potenzen so in "Etagen" schreibt. Mit 5 Fünfen, denke
> ich, ist die größt mögliche Zahl: 5 als Basis und dann 4
> Mal die 5
> als Potenz der Potenz ...
So isses.
> Ich versuche es mit Klammern:
> [mm]5^{5^(5^(5^5))}.[/mm]
Schon klar. So ists gut.
> So ähnlich die 4.
Ähnlich? Im Sinne von genauso?
> Mit 2 und 3 stelle ich
> mir das so vor:3^(3^(3 ^33)))
Scheint richtig. Aber ohne kpl. Aufgabe denke ich nicht weiter drüber nach.
Sollst Du das also für jede der fünf Ziffern lösen, oder nur die insgesamt größte Möglichkeit innerhalb der Vorgaben finden?
> Gruß
> Ferma
> PS
> ich sehe gerade in der Vorschau, dass mein Text mit den
> Klammern automatisch verändert wird. Also 5-
> hoch-Klammer-5-hoch-Klammer-5-hoch-Klammer-5-hoch-5-drei
> schließende Klammern.
Ja, klar.
Gib nie die ganze Aufgabe auf einmal. Sonst entwickelt sich einfach keine vernünftige Diskussion.
*Ironiemodus_off*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:08 Do 18.11.2010 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen,
erstmals danke für die kompetente Hilfe. Die Aufgabe bestand tatsächlich für die Zahlen 1,2,3,4 und 5. Jede soll 5 Mal verwendet werden, um die größte Zahl darzustellen. Keine mathematischen Zeichen sind erlaubt.
Viele Grüße
Ferma
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