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Forum "Uni-Analysis" - Hohe Potenzen in \IC
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Hohe Potenzen in \IC: in Polarform
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Sa 12.11.2005
Autor: Reaper

Hallo....
geg.: Man berechne klassisch und in Polarform:

z= ( (1 +  [mm] \wurzel{3}*i) [/mm] / (2+2i) [mm] )^{3} [/mm]

klassisch ists kein Problem (hoffentlich) ...da kommt 1/2 + i/2 = z heraus

in Polarform bin ich das Ganze so angegangen:

1 +  [mm] \wurzel{3}*i [/mm] in Polarkoordinaten :

|z | =  [mm] \wurzel{1² + \wurzel{3} ²} [/mm]
|z| = 2
a = |z| * cos ( [mm] \delta) [/mm]
1 = 2 * cos ( [mm] \delta) [/mm]

[mm] \delta [/mm] = arccos (1/2) = 60 Grad =  [mm] \pi [/mm] / 3
So...und genau um die Grad gehts....wie kann ich ohne Taschenrechner
wissen dass arccos (1/2) = 60 Grad =  [mm] \pi [/mm] / 3 lautet.....

Bei 2 + 2i:

|z| =  [mm] \wurzel{8} [/mm]
2 = 2 * cos ( [mm] \delta) [/mm]
[mm] \delta [/mm] = arccos (2/2) = 0

...wie kann ich die Grad speziell beim ersten Term 1 +  [mm] \wurzel{3}*i [/mm] ohne
TI92 wissen?

So nun habe ich also 2 komplexe Zahlen in Polarform dragestellt:

[mm] z_{1} [/mm] = 2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin  [mm] \pi/3 [/mm] )
[mm] z_{2} [/mm] =  [mm] \wurzel{8} [/mm] (cos  0 + i*sin  0 )


2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin  [mm] \pi/3 )^{3} [/mm] = 2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin*3*  [mm] \pi/3 [/mm] )
[mm] \wurzel{8} [/mm] (cos  0 + i*sin  0 ) ^{3} = [mm] \wurzel{8}(cos [/mm]  0 + i*3*sin  0 ) = [mm] \wurzel{8} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm]

[mm] z_{1} [/mm] = 2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin*3*  [mm] \pi/3 [/mm] ) =  2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin*  [mm] \pi [/mm] ) =  
2(cos  [mm] \pi/3) [/mm]

Also 2(cos  [mm] \pi/3)/\wurzel{8} [/mm] .....und was fang ich jetzt mit dem Term an
um eine anständige komplexe Zahl herauszubekommen?

mfg,
Hannes

        
Bezug
Hohe Potenzen in \IC: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Sa 12.11.2005
Autor: Leopold_Gast

So...und genau um die Grad gehts....wie kann ich ohne Taschenrechner
wissen dass arccos (1/2) = 60 Grad =  [mm]\pi[/mm] / 3 lautet.....

Es gibt Dinge, die sollte man wissen. Die Frage ist so ähnlich wie

"Wie kann ich ohne Taschenrechner wissen, daß die Wurzel von 81 gerade 9 ist?"

Und hier geht es um Elementargeometrie. Tip: Halbiere ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 und verwende die Definiton von Sinus/Cosinus im rechtwinkligen Dreieck.
Bezug
                
Bezug
Hohe Potenzen in \IC: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Mo 14.11.2005
Autor: Reaper

Hallo....ach ja ich bin draufgekommen dass die komplexen Zahlen gar nicht stimmen...richtig ist:

[mm] z_{1} [/mm] = 2* (cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i sin  [mm] \pi/3) [/mm]
[mm] z_{2} [/mm] =  [mm] \wurzel{8}* [/mm] (cos  [mm] \pi/4 [/mm] + i sin  [mm] \pi/4) [/mm]

So und was mach ich jetzt muss ich:
[mm] z_{1} [/mm] =  (2* (cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i sin  [mm] \pi/3))^{3} [/mm] = 8 * cos  [mm] \pi/3 [/mm]
[mm] z_{2} [/mm] =  [mm] (\wurzel{8}* [/mm] (cos  [mm] \pi/4 [/mm] + i sin  [mm] \pi/4))^{3} [/mm] =  
[mm] \wurzel{8}^{3}*(cos \pi/4 [/mm] + i sin 3* [mm] \pi/4) [/mm]

So und wie rechne ich jetzt [mm] z_{1} [/mm] / [mm] z_{2} [/mm] ?

mfg,
Hannes

Bezug
                        
Bezug
Hohe Potenzen in \IC: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mo 14.11.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Hannes!


> [mm]z_{1}[/mm] = 2* (cos  [mm]\pi/3[/mm] + i sin  [mm]\pi/3)[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] =  [mm]\wurzel{8}*[/mm] (cos  [mm]\pi/4[/mm] + i sin  [mm]\pi/4)[/mm]

[ok]


> So und was mach ich jetzt muss ich:
> [mm]z_{1}[/mm] =  (2* (cos  [mm]\pi/3[/mm] + i sin  [mm]\pi/3))^{3}[/mm] = 8 * cos  [mm]\pi/3[/mm]

[notok] Hier fehlt doch noch was ...

[mm] $z_1^3 [/mm] \ = \ [mm] 2^3 [/mm] * [mm] \left[\cos\left(\bruch{\pi}{3}*3\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{3}*3\right)\right] [/mm] \ = \ 8 * [mm] \left[\cos\left(\pi\right) + i*\sin\left(\pi\right)\right]$ [/mm]


> [mm]z_{2}[/mm] =  [mm](\wurzel{8}*[/mm] (cos  [mm]\pi/4[/mm] + i sin  [mm]\pi/4))^{3}[/mm] =  [mm]\wurzel{8}^{3}*(cos \pi/4[/mm] + i sin 3* [mm]\pi/4)[/mm]

[notok] Fast richtig!

Auch beim [mm] $\cos$ [/mm] muss es natürlich [mm] $\bruch{\red{3}\pi}{4}$ [/mm] heißen. Für [mm] $\wurzel{8}^3$ [/mm] kann man auch schreiben [mm] $16*\wurzel{2}$ [/mm] .

Und es handelt sich auch um [mm] $z_2^{\red{3}}$ [/mm] ...


  
> So und wie rechne ich jetzt [mm]z_{1}[/mm] / [mm]z_{2}[/mm] ?

Hier verwenden wir ebenfalls die Moivre-Formel:

[mm] $\bruch{z_1}{z_2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_1 * \left[\cos\left(\varphi_1\right) + i*\sin\left(\varphi_1\right)\right]}{r_2 * \left[\cos\left(\varphi_2\right) + i*\sin\left(\varphi_2\right)\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_1}{r_2} [/mm] * [mm] \left[\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right) + i*\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right]$ [/mm]


[guckstduhier]  .  .  .  .   []Rechnen mit komplexen Zahlen


Gruß
Loddar

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