Holomorphe Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm]f: \IC \to \IC[/mm] holomorph. Zeigen Sie: Liegen alle Werte von [mm]f[/mm] auf dem Einheitskreis in [mm]\IC[/mm], so ist [mm]f[/mm] konstant. |
Hallo,
ich denke es könnte mit den Cauchy-Riemannschen-DGLen funktionieren indem ich die komplexe Funktion als Funktion [mm]\overline{f} : \IR^2 \to \IR^2[/mm] interpretiere.
Könnte mit jemand dazu einen Tipp geben?
Grüße.
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Mi 24.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst |f(z)|=1 schreib das in [mm] u^2+v^2=1 [/mm] und differenziere nach x und y dann löse auf nach [mm] u_x=v_y [/mm] und [mm] u_y=-v_x
[/mm]
was fogt für u,v
gruss leduart
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> Hallo
> du weisst |f(z)|=1 schreib das in [mm]u^2+v^2=1[/mm] und
> differenziere nach x und y dann löse auf nach [mm]u_x=v_y[/mm] und
> [mm]u_y=-v_x[/mm]
> was fogt für u,v
> gruss leduart
Hallo,
also es gilt ja wie du gesagt hast:
|f(z)|=1
Betrag einer komplexen Fkt. ist ja:
[mm] \wurzel{Re^2+Im^2}
[/mm]
Wobei dann Re und Im jeweils u bzw. v sind.
Wurzel kann ich dann kürzen, dann folgt:
[mm] Re^2+Im^2=1
[/mm]
nur komm ich hier jetzt nicht weiter...
wie soll ich hier differenzieren?
Grüße,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 24.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit f(z)=u+iv
hast du doch
[mm] u^2+v^2=1
[/mm]
und z.B u^^2 nach x abgeleitet ergibt mit kettenregel [mm] 2u*u_x
[/mm]
jetz das ganze ableiten, einmal nach x einmal nach y, dann daraus [mm] u_x=... [/mm] und [mm] v_y=...
[/mm]
usw.
Du wolltest einen Tip keine Lösung!
Gruss leduart
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> Hallo
> mit f(z)=u+iv
> hast du doch
> [mm]u^2+v^2=1[/mm]
> und z.B u^^2 nach x abgeleitet ergibt mit kettenregel
> [mm]2u*u_x[/mm]
und [mm] v^2 [/mm] nach y abgeleitet ergibt [mm] 2v*v_y
[/mm]
> jetz das ganze ableiten, einmal nach x einmal nach y, dann
> daraus [mm]u_x=...[/mm] und [mm]v_y=...[/mm]
soll ich jetzt [mm] 2u*u_x [/mm] und [mm] 2v*v_y [/mm] noch nach x und y ableiten?
sry, ich verteh nicht auf was du hinaus willst....
oder das abgeleitete nurnoch nach [mm] u_x [/mm] und [mm] v_y [/mm] auflösen?
> usw.
> Du wolltest einen Tip keine Lösung!
> Gruss leduart
Grüße,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 24.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nächster Schritt
[mm] 2uu_x+2vv_x=0
[/mm]
[mm] 2uu_y*2vv_y=0
[/mm]
[mm] u_x=....
[/mm]
[mm] v_y=....
[/mm]
[mm] u_x=v_y [/mm] folgt?
Gruss leduart
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> Hallo
> nächster Schritt
> [mm]2uu_x+2vv_x=0[/mm]
> [mm]2uu_y*2vv_y=0[/mm]
warum hier * ? oder meinst du [mm]2uu_y+2vv_y=0[/mm]
> [mm]u_x=....[/mm]
[mm]u_x= - \bruch{vv_x}{u}[/mm]
> [mm]v_y=....[/mm]
[mm]v_y=0[/mm]
> [mm]u_x=v_y[/mm] folgt?
dass die Ableitungen 0 sind und somit f konstant ist?!
> Gruss leduart
Grüße,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> > nächster Schritt
> > [mm]2uu_x+2vv_x=0[/mm]
> > [mm]2uu_y*2vv_y=0[/mm]
> warum hier * ? oder meinst du [mm]2uu_y+2vv_y=0[/mm]
> > [mm]u_x=....[/mm]
>
> [mm]u_x= - \bruch{vv_x}{u}[/mm]
>
> > [mm]v_y=....[/mm]
>
> [mm]v_y=0[/mm]
>
> > [mm]u_x=v_y[/mm] folgt?
>
> dass die Ableitungen 0 sind und somit f konstant ist?!
warum rätst Du das? Wenn's unklar ist, das ist leicht zu beweisen:
![[]](/images/popup.gif) Folgerung 1.3
P.S. Das ganze hat auch was mit "zusammenhängend" zu tun... sollte man
beachten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Do 25.10.2012 | | Autor: | DjHighlife |
> Hallo,
>
> > > Hallo
> > > nächster Schritt
> > > [mm]2uu_x+2vv_x=0[/mm]
> > > [mm]2uu_y*2vv_y=0[/mm]
> > warum hier * ? oder meinst du [mm]2uu_y+2vv_y=0[/mm]
> > > [mm]u_x=....[/mm]
> >
> > [mm]u_x= - \bruch{vv_x}{u}[/mm]
> >
> > > [mm]v_y=....[/mm]
> >
> > [mm]v_y=0[/mm]
> >
> > > [mm]u_x=v_y[/mm] folgt?
> >
> > dass die Ableitungen 0 sind und somit f konstant ist?!
>
> warum rätst Du das? Wenn's unklar ist, das ist leicht zu
> beweisen:
Dieser Zusammenhang ist mir schon klar, nur der Weg dorthin ist dann doch das Problem ;)
Grüße,
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Do 25.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo
> > > > nächster Schritt
> > > > [mm]2uu_x+2vv_x=0[/mm]
> > > > [mm]2uu_y*2vv_y=0[/mm]
> > > warum hier * ? oder meinst du [mm]2uu_y+2vv_y=0[/mm]
> > > > [mm]u_x=....[/mm]
> > >
> > > [mm]u_x= - \bruch{vv_x}{u}[/mm]
> > >
> > > > [mm]v_y=....[/mm]
> > >
> > > [mm]v_y=0[/mm]
> > >
> > > > [mm]u_x=v_y[/mm] folgt?
> > >
> > > dass die Ableitungen 0 sind und somit f konstant ist?!
> >
> > warum rätst Du das? Wenn's unklar ist, das ist leicht zu
> > beweisen:
>
> Dieser Zusammenhang ist mir schon klar, nur der Weg dorthin
> ist dann doch das Problem ;)
na, es wurde doch alles gesagt, was gemacht werden soll. Solange Du
partiell ableiten kannst - und das ist eigentlich das gleiche Können, das
man aus der Schule hat, es sieht vielleicht nur ein wenig "komischer" aus,
aber im Prinzip musst Du nur wissen, wie Du mit Funktionen etwa
$(a,b) [mm] \to \IR$ [/mm] ($a < [mm] b\,$) [/mm] Ableitungen berechnen kannst/darfst, kommst
Du zum Ziel. Aber es wäre toll, wenn Du nicht auch einfach fragst, ob sich
da jemand verschrieben hat, sondern es NACHRECHNEST.
Genauso, wie wenn jemand schreibt:
[mm] $$f(g(h(x)))'=f'(g(h(x)))*g'(h(x))\red{\;\text{+}\;}h'(x)\,.$$
[/mm]
Da kann man doch sagen:
Wenn ich das nachrechne, dann kommt aber raus
$$f(g(h(x)))'=(f [mm] \circ g)'(h(x))*h'(x)=f'(g(h(x)))*g'(h(x))*h'(x)\,.$$
[/mm]
Nicht nur fragen... auch mal MACHEN!
Wenn Du dann was falsch machst und wir Dir das sagen, dann lernst Du
wenigstens... nämlich aus Deinem/Deinen Fehler(n)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast alo die Gleichungen
$ [mm] 2uu_x+2vv_x=0 [/mm] $
$ [mm] 2uu_y+2vv_y=0 [/mm] $
Mit den CRD bekommst Du
$ [mm] uu_x-vu_y=0 [/mm] $
$ [mm] uu_y+vu_x=0 [/mm] $
Multipliziere die erste Gl. mit u und die zweite mit v.
Addiere die beiden neuen Gleichungen. Was bekommst Du ?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Nisse |
Ich würde da ganz anders rangehen. Aber erst eine Frage zur Klarheit:
Ist mit
> auf dem Einheitskreis
gemeint |f(z)|=1 oder |f(z)|<1?
In beiden Fällen greift der Satz von Liouville, im ersten Fall auch der Satz von der Gebietstreue.
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