Holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 23.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | a) Beweise, dass es keine holomorphe Funktion [mm] f:D\to \IC [/mm] gibt mit [mm] f(\bruch{1}{n})=\bruch{(-1)^n}{n^2}, n\in \IN, n\ge [/mm] 2.
b) Es sei D die offene Einheitsscheibe. Beweisen Sie, dass es keine holomorphe Funktion [mm] f:D\to \IC [/mm] gibt mit [mm] f(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{2^n}, n\in \IN, n\ge [/mm] 2 |
Hallo!
zu a) Angenommen, es existiert so eine holmorphe Funktion. Dann existiert eine Funktion [mm] g(z)=z^2 [/mm] für gerade [mm] n\in \IN, [/mm] so dass f und g auf der Menge [mm] M=\{\bruch{1}{n}: n=2k, k\in\IN \} [/mm] nach Identitätssatz übereinstimmen.
Mein Problem an der Stelle: ich muss jetzt das alles irgendwie zum Widerspruch führen, aber ich sehe diesen Widerspruch nicht, weil g(z) holomorphist ist auf ganz [mm] \IC [/mm] und somit auch auf D.
zu b) Angenommen, es existiert solche Funktion. Dann sei g(z) [mm] =2^{-n^2z}. [/mm] Im Hinweis steht, man muss jetzt folgern, dass es eine Nullstelle gibt, die endliche Ordnung besitzt und das wiederum zum Wiederspruch führen. Wenn ich die g Funktion richtig bestimmt habe, dann hat sie gar keine Nullstellen. Ich habe noch versucht eine andere Funktion zu finden, mit der obigen Eigenschaft, aber mir fehlt leider keine ein...
Kann mir jemand dabei helfen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mo 24.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
!!!!!Bitte HILFE!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Di 25.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> a) Beweise, dass es keine holomorphe Funktion [mm]f:D\to \IC[/mm]
> gibt mit [mm]f(\bruch{1}{n})=\bruch{(-1)^n}{n^2}, n\in \IN, n\ge[/mm]
> 2.
> b) Es sei D die offene Einheitsscheibe. Beweisen Sie, dass
> es keine holomorphe Funktion [mm]f:D\to \IC[/mm] gibt mit
> [mm]f(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{2^n}, n\in \IN, n\ge[/mm] 2
> Hallo!
> zu a) Angenommen, es existiert so eine holmorphe Funktion.
> Dann existiert eine Funktion [mm]g(z)=z^2[/mm] für gerade [mm]n\in \IN,[/mm]
> so dass f und g auf der Menge [mm]M=\{\bruch{1}{n}: n=2k, k\in\IN \}[/mm]
> nach Identitätssatz übereinstimmen.
> Mein Problem an der Stelle: ich muss jetzt das alles
> irgendwie zum Widerspruch führen, aber ich sehe diesen
> Widerspruch nicht, weil g(z) holomorphist ist auf ganz [mm]\IC[/mm]
> und somit auch auf D.
Überlege dir nochmal genau die Negation!
Du hast angenommen, dass f holomorph in einer Umgebung von 0 ist. g ist offensichtlich holomorph. Die beiden Funktionen f und g stimmen auf der Menge M überein. Die Menge M hat den Häufungspunkt 0. Nach dem Identitätssatz stimmen beide Funktionen auf einer Umgebung von 0 überein. Diese Umgebung enthält eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von 0. Also müsste für ungerade n mit $1/n [mm] <\varepsilon$ [/mm] gelten: [mm] $g(\bruch{1}{n}) =\bruch{(-1)^n}{n^2}$.
[/mm]
Siehst du den Widerspruch?
> zu b) Angenommen, es existiert solche Funktion. Dann sei
> g(z) [mm]=2^{-n^2z}.[/mm] Im Hinweis steht, man muss jetzt folgern,
> dass es eine Nullstelle gibt, die endliche Ordnung besitzt
> und das wiederum zum Wiederspruch führen. Wenn ich die g
> Funktion richtig bestimmt habe, dann hat sie gar keine
> Nullstellen. Ich habe noch versucht eine andere Funktion zu
> finden, mit der obigen Eigenschaft, aber mir fehlt leider
> keine ein...
Die Funktion g kann nicht den Parameter n haben, denn der kommt ja erst ins Spiel, wenn du den Funktionswert an der Stelle $1/n$ betrachtest. Du könntest z.B
[mm] g(z) = 2^{-1/z} [/mm]
nehmen, nur ist diese Funktion an der Stelle $z=0$ nicht holomorph.
Was den Hinweis betrifft: holomorphe Funktionen sind stetig. Wäre also f holomorph, so wäre
[mm] \limes_{n\to\infty} f(\bruch{1}{n}) = f(\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{n}) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Rainer hat das Nötige zu a) gesagt. Deshalb nur etwas zu b):
Angenommen, es gibt eine holomorphe Funktion f auf D mit
(*) $ [mm] f(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{2^n}, n\in \IN, n\ge [/mm] $ 2.
Dann folgt zunächst, dass f nicht konstant =0 ist und dass f(0)=0 ist. f hat also in eine Nullstelle. Sei m deren Ordnung. Dann gibt es auf D eine holomorphe Funktion g mit:
[mm] $f(z)=z^m*g(z)$ [/mm] und $g(0) [mm] \ne [/mm] 0$
Aus (*) erhalten wir $g(1/n)= [mm] \bruch{n^m}{2^n} [/mm] $ , [mm] n\in \IN, n\ge [/mm] 2
Es folgt: $g(0) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(1/n)=0$, [/mm] Widerspruch
FRED
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