Holomorphe Funktionen finden < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich habe noch eine weitere Frage zu obiger Aufgabe. Ich soll ja alle Funktion finden, die $z = (x+i*y)$ nach [mm] \IC [/mm] abbilden und den Realteil [mm] 3x^{2}y [/mm] - [mm] y^{3} [/mm] + 2 haben. Könntet ihr mir bitte einen Ansatz geben, wie ich vorgehen soll?
Was mir aufgefallen ist, ist dass zum Beispiel [mm] (x+iy)^{3}*(-i) [/mm] + 2 einen entsprechenden Realteil hat, also wäre die Funktion
z -> [mm] (-i)*z^{3} [/mm] + 2
wahrscheinlich eine Lösung. Holomorph ist sie ja, denk ich. Aber wie geht es jetzt weiter? Ich kann natürlich noch beliebig viele imaginäre Summanden etc. hinzufügen, weil darüber ja keine Aussage gemacht wird, aber da komme ich ja zu keinem Ende.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $f(z) = u(x,y) +i v(x,y)$ eine der gesuchten Funktionen ( also $v(x,y) = Im(f(z)$)
$u$ kennst Du. Die Funktion v kannst Du aus den Cauchy-Riemannschen Diff.-Gleichungen bestimmen !
FRED
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Hallo und danke für deine Antwort!
Also, ich habe die Funktion
$f : [mm] \IC\to \IC: [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] f(z)$
bzw.
$f*: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] : (x,y) [mm] \mapsto (\Re [/mm] f(x+i*y), [mm] \Im [/mm] f(x+i*y)) = (u(x,y),v(x,y))$
In meinem Fall ist $u$ bekannt mit $u(x,y) = [mm] 3x^{2}*y-y^{3}+2$. [/mm] Die Cauchy-Riemannschen DGL besagen jetzt dass
[mm] $\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y}(x,y)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 6x*y = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y}(x,y)$
[/mm]
[mm] $\gdw 3x*y^{2} [/mm] + c(x) = v(x,y)$
und
[mm] $\bruch{\partial u}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial x}(x,y)$
[/mm]
[mm] $\gdw 3x^{2} [/mm] - [mm] 3y^{2} [/mm] = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial x}(x,y)$
[/mm]
[mm] $\gdw x^{3} [/mm] - [mm] 3y^{2}*x [/mm] = -v(x,y)$
[mm] $\gdw 3y^{2}*x [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] + d(y) = v(x,y)$
Aber da erhalte ich jetzt ja zwei verschiedene Mgl. für v(x,y) ? Was muss ich jetzt tun?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich sehe nicht ganz durch, was Du da gerechnet hast.
Es ist $ u(x,y) = [mm] 3x^{2}\cdot{}y-y^{3}+2 [/mm] $
Dann:
[mm] $v_y [/mm] = [mm] u_x [/mm] = 6xy$, also $v(x,y) = [mm] 3xy^2+c(x)$
[/mm]
Weiter:
[mm] $u_y [/mm] = [mm] 3x^2-3y^2 [/mm] = [mm] -v_x [/mm] = [mm] -3y^2-c'(x)$
[/mm]
Somit: $c'(x) = [mm] -3x^2$, [/mm] also $c(x) = [mm] -x^3+C$
[/mm]
Fazit: $v(x,y) = [mm] 3xy^2-x^3+C$
[/mm]
FRED
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo und danke für deine Antwort!
Um jetzt die Aufgabenstellung zu erfüllen:
Ich hätte also erstmal
f(x,y) = [mm] (3x^{2}*y [/mm] - [mm] y^{3} [/mm] + 2) + [mm] i*(3x*y^{2}-x^{3}+C)
[/mm]
mit C [mm] \in \IR. [/mm] Muss ich das jetzt noch als Funktion von [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IC [/mm] ausdrücken, also
f(z) = [mm] (-i)*z^{3} [/mm] + 2 + i*C
mit C [mm] \in\IR [/mm] ?
Und noch eine Frage zum Vorgehen: Ich benutze die Riemann-Cauchyschen DGLs, weil ich weiß dass für diese Funktionen die DGLs dann gelten, sie also auch komplex differenzierbar (holomorph) ist.
Viele Grüße und danke für die Hilfe,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Besser:
ist f holomorph, so erfüllen Real- und Imaginärteil von f die Cauchy- Riemannschen DGLen
FRED
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Danke für deine Hilfe!
Grüße, Stefan.
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