Holomorphe funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IC [/mm] \ {0} --> [mm] \IC [/mm] holomorph, nicht konstant, B= B(0,1) die offene Einheitskreisscheibe und C= [mm] \partial [/mm] B. Welche der folgenden Situationen sind möglich?
1) f ist beschränkt auf [mm] \IC [/mm] \ {0} |
Hallo,
ich habe folgendes überlegt: Für f = sin z, f ist holomorph auf ganz [mm] \IC, [/mm] also ist auch holomorrph auf [mm] \IC [/mm] \ {0}, f ist auch dort beschränkt, da |sin z| < = 1
Bin mir aber nicht sicher.
Könnte mir jemand bitte dabei helfen? Wäre sehr dankbar, ich habe leider schon morgen Klausur.
LG Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elena!
> Sei f: [mm]\IC[/mm] \ {0} --> [mm]\IC[/mm] holomorph, nicht konstant,
> B= B(0,1) die offene Einheitskreisscheibe und C= [mm]\partial[/mm]
> B. Welche der folgenden Situationen sind möglich?
> 1) f ist beschränkt auf [mm]\IC[/mm] \ {0}
> Hallo,
>
> ich habe folgendes überlegt: Für f = sin z, f ist holomorph
> auf ganz [mm]\IC,[/mm] also ist auch holomorrph auf [mm]\IC[/mm] \ {0},
Bis hierhin ist es richtig.
> f ist auch dort beschränkt, da |sin z| < = 1
Das stimmt so nicht (bzw. es stimmt nur fuer reelle $z$)! Wenn das der Fall waere, dann waere [mm] $\sin [/mm] z$ nach dem Satz von Liouville konstant!
> Bin mir aber nicht sicher.
> Könnte mir jemand bitte dabei helfen? Wäre sehr dankbar,
Schau dir mal den Riemannschen Hebbarkeitssatz an.
LG Felix
PS: Viel Erfolg bei der Klausur!
PPS: Ich glaub wir hatten diese Frage schonmal...
<edit>Nee, ich hatte mich vertan... :)</edit>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
danke für Deine schnelle Antwort.
Also aus dem Riemann. Hebb. Satz sollte folgen, dass falls f beschränkt auf [mm] \IC [/mm] \ {0} , dann ist f auf [mm] \IC [/mm] holomorhp fortsetzbar, also a ist hebbare Singularität. Also soll dann f nachdem Satz von Lioville konstant sein, was der Vorraussetzung wiederspricht. Also die Aussage ist falsch.
Wäre es richtig so?
LG Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elena,
> danke für Deine schnelle Antwort.
> Also aus dem Riemann. Hebb. Satz sollte folgen, dass falls
> f beschränkt auf [mm]\IC[/mm] \ {0} , dann ist f auf [mm]\IC[/mm] holomorhp
> fortsetzbar, also a ist hebbare Singularität. Also soll
> dann f nachdem Satz von Lioville konstant sein, was der
> Vorraussetzung wiederspricht. Also die Aussage ist falsch.
>
> Wäre es richtig so?
exakt 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Danke!
Schade dass ich selber auf die Gedanken nicht komme, ich brauch immer einen kleinen Stoß :-( und dann geht es. Hoffentlich wird es morgen besser
LG Elena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Ich hätte noch eine Frage:
Was mich bei der Fortsetz. Satz von Riemann verzweifelt:
Wenn unsere Funktion auf [mm] \IC [/mm] \ {a} [mm] \cup [/mm] {a} (a ist isolierte Singularität) holomorph fortsetzbar, dann heisst es, ich kann meine Funktion f einfach als eine holomorphe Funktion auf ganz [mm] \IC [/mm] betrachten und dann auf diese verschiedene Sätze anwenden. Also grob gesagt, kann ich dann "vergessen", dass sie eigentlich auf [mm] \IC [/mm] \ {a} definiert wurde?
Danke für Deine Bemühungen.
LG Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Ich hätte noch eine Frage:
> Was mich bei der Fortsetz. Satz von Riemann verzweifelt:
>
> Wenn unsere Funktion auf [mm]\IC[/mm] \ {a} [mm]\cup[/mm] {a} (a ist
> isolierte Singularität) holomorph fortsetzbar, dann heisst
> es, ich kann meine Funktion f einfach als eine holomorphe
> Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] betrachten und dann auf diese
> verschiedene Sätze anwenden. Also grob gesagt, kann ich
> dann "vergessen", dass sie eigentlich auf [mm]\IC[/mm] \ {a}
> definiert wurde?
Genau. Du weisst dann, dass sie ''in Wirklichkeit'' auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] definiert ist. Das ist allgemein bei holomorphen Funktionen so, wenn du weisst das sie auf einem Gebiet holomorph sind kann es evtl. sein das man sie auch auf ein groesseres Gebiet fortsetzen kann (und zwar eindeutig, wegen dem Identitaetssatz).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Ehrlich gesagt, jetzt bin ich ein bisschen durcheinander. Bei folgender Aufgabe:
"Sei U aus [mm] \IC [/mm] offen, f:U--> [mm] \IC [/mm] stetig. Ist folgende Situation möglich?
Ist f in U holomorph und beschränkt, dann ist f konstant"
Sei U = [mm] \IC [/mm] \ {0}
Nach Forts.satz von Riemann gilt: f ist holom fortsetzbar auf [mm] \IC [/mm] und da auch beschränkt, dann nach Lioville konstant.
Andererseits für U = B(2,1) und f=1/z ist f nicht konstant.
Wo liegt mein Denkfehler?
Danke für Deine Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Ich denke ich habe die Aufgabe nicht ganz richtig formulliert . Die lautet:
Sei U aus [mm] \IC [/mm] offen, f:U--> [mm] \IC [/mm] stetig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche nicht?
1) Ist f in U holomorph und beschränkt, so ist f konstant.
Also die Situation ist möglich, aber im allgemeinem gilt nicht . Das zeigt uns das Gegenbeispiel.
Oder?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Ich denke ich habe die Aufgabe nicht ganz richtig
> formulliert . Die lautet:
> Sei U aus [mm]\IC[/mm] offen, f:U--> [mm]\IC[/mm] stetig. Welche der
> folgenden Aussagen sind richtig, welche nicht?
>
> 1) Ist f in U holomorph und beschränkt, so ist f konstant.
>
> Also die Situation ist möglich, aber im allgemeinem gilt
> nicht . Das zeigt uns das Gegenbeispiel.
> Oder?
Genau!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mo 20.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Danke!
Jetzt ist es alles klar.
LG Elena
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