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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Holomorphie
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Holomorphie: Holomorphie der Potenzfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 So 05.06.2016
Autor: Herzblatt

Aufgabe
Es sei a [mm] \in \IC. [/mm] Für z [mm] \in \IC \setminus [/mm] {0} ist [mm] z^a:=e^{a*ln(z)}, [/mm] mit ln Hauptzweig des Logarithmus.
Zeigen sie, dass die Funktion [mm] f_a:\IC\setminus\IR^{+}_{0} \to \IC, z\to z^a [/mm] holomorph ist und bestimmen sie die erste Ableitung.

Um zu beweisen,dass die Funktion holomorph ist, wollte ich den Grenzwert bilden um nach komplexen Differenzierbarkeit zu prüfen, d.h.

[mm] \limes_{h \to 0} \frac{(z+h)^a-z^a}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \to 0} \frac{e^{a*ln(z+h)}-e^{a*ln(z)}}{h} [/mm]

Jetzt weiß noch, dass ln(z+h)=ln|z+h|+i*arg(z+h)

Wie komme ich weiter?gerne würde ich das h im Nenner wegkürzen....
Für Tipps wäre ich sehr dankbar :-)

Euer <3-blatt

        
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 So 05.06.2016
Autor: fred97

ln ist doch auf dem Definitionsbereich von [mm] f_a [/mm] holomorph.

Bemühe die Kettenregel.

fred



Bezug
                
Bezug
Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 So 05.06.2016
Autor: Herzblatt


> ln ist doch auf dem Definitionsbereich von [mm]f_a[/mm] holomorph.
>  
> Bemühe die Kettenregel.
>  
> fred
>  
>  

Achso, darf ich dann einfach für [mm] f(z)=z^a=e^{a*ln(z)} [/mm]
folgern, dass die Ableitung [mm] f'(z)=e^{a*ln(z)}*\frac{a}{z} [/mm] existiert, da der Nenner nach Voraussetzung (Definitionsbereich von f) nie Null sein kann?
und f(z) holomorph ist, da e, sowie ln holomorph und die Zusammensetzung der beiden dann wieder holomorph ist?


Bezug
                        
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 So 05.06.2016
Autor: fred97


> > ln ist doch auf dem Definitionsbereich von [mm]f_a[/mm] holomorph.
>  >  
> > Bemühe die Kettenregel.
>  >  
> > fred
>  >  
> >  

> Achso, darf ich dann einfach für [mm]f(z)=z^a=e^{a*ln(z)}[/mm]
>  folgern, dass die Ableitung [mm]f'(z)=e^{a*ln(z)}*\frac{a}{z}[/mm]
> existiert, da der Nenner nach Voraussetzung
> (Definitionsbereich von f) nie Null sein kann?
>   und f(z) holomorph ist, da e, sowie ln holomorph und die
> Zusammensetzung der beiden dann wieder holomorph ist?
>  

ja

fred


Bezug
                                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 So 05.06.2016
Autor: Herzblatt

vielen Dank :-)

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