Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Mo 11.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Es seien f, g holomorph in [mm] \IC [/mm] mit |f(z) [mm] \le [/mm] |g(z)| für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Dann gibt es ein [mm] \lambda \in \IC [/mm] mit f(z) = [mm] \lambda [/mm] g(z) für alle z [mm] \in \IC. [/mm] |
Ich habe mal die Cauchysche Ungleichung für Taylorkoeffizienten zur Hilfe gezogen.
Da f(z) holomorph in [mm] \IC [/mm] ist, kann f(z) im Punkte 0 in eine Taylorreihe entwickelt werden.
Also f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] * [mm] z^n.
[/mm]
Dies habe ich dann wie folgt abgeschätzt:
|f(z)| = [mm] |\summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] * [mm] z^n| \le \summe_{n=0}^{\infty}|a_n| [/mm] * [mm] |z^n| \le \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{M(r)}{r^n}*|z^n| \le \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{|g(z)|}{r^n}*|z^n| [/mm] ,
mit M(r) = max |f(z)|.
Doch ich habe das Gefühl, das ganze bringt mich nicht sehr viel weiter...!
Bin ich komplett auf dem falschen Weg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Di 12.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Schonwieder du, mit fast den gleichen Aufgaben wie wir beschäftigt... sehr seltsam. 
Jedenfalls: Die richtige Voraussetzung lautet [mm] $|f(z)|\red{<}|g(z)|$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IC$. [/mm] Dann folgt, dass f/g holomorph und beschränkt in [mm] $\IC$ [/mm] ist, also konstant, nach dem Satz von Liouville.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Di 12.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Danke für deinen Tipp.
> Schonwieder du, mit fast den gleichen Aufgaben wie wir
> beschäftigt... sehr seltsam.
Wie bereits erwähnt, studiere ich immer noch in der Schweiz.
Es mag sein, dass wir dieselbe Literatur benötigen. Nähmlich:
Remmer/Schumacher: Funktionentheorie.
Unsere Übungsaufgaben stammen hauptsächlich aus diesem Buch. Wahrscheinlich ist dies bei euch auch der Fall.
Deshalb die Übereinstimmung von unseren Aufgaben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Di 12.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, das Buch hat unser Professor auch ziemlich lieb...
Gruß, Robert
|
|
|
|
