Homöo- vs. diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich weiß, dass [mm] f(x)=x^3 [/mm] zwar ein Homöomorphismus, aber kein Diffeomorphismus ist, da die Umkehrabbildung in 0 nicht differenzierbar ist.
Wie sieht das aus, wenn ich jetzt einen Homöomorphismus von [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] suche, der kein Diffeomorphismus ist. Kann ich dann mein Beispiel einfach Komponentenweise benutzen, also [mm] f(x,y)=(x^3, y^3)^T? [/mm] oder geht das nicht?
Mein Idee dabei ist, dass ich differenzierbarkeit bei stetigen Funktionen ja komponentenweise prüfen kann. Totaler quatsch?
Grüße Ned.
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Hallo property_of_ned_flanders,
> Hallo,
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> ich weiß, dass [mm]f(x)=x^3[/mm] zwar ein Homöomorphismus, aber
> kein Diffeomorphismus ist, da die Umkehrabbildung in 0
> nicht differenzierbar ist.
> Wie sieht das aus, wenn ich jetzt einen Homöomorphismus
> von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] suche, der kein Diffeomorphismus ist.
> Kann ich dann mein Beispiel einfach Komponentenweise
> benutzen, also [mm]f(x,y)=(x^3, y^3)^T?[/mm] oder geht das nicht?
Sicher kannst Du das Beispiel komponentenweise betrachten.
>
> Mein Idee dabei ist, dass ich differenzierbarkeit bei
> stetigen Funktionen ja komponentenweise prüfen kann.
> Totaler quatsch?
Hmm, das geht nur komponentenweise, wenn f die Form
[mm]f\left(x,y\right)=\pmat{g\left(x\right) \\ h\left(y\right)}[/mm]
oder
[mm]f\left(x,y\right)=\pmat{g\left(y\right) \\ h\left(x\right)}[/mm]
hat.
Im allgemeinen Fall mußt Du die Jacobimatrix betrachten.
>
> Grüße Ned.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
> Hallo property_of_ned_flanders,
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> > ich weiß, dass [mm]f(x)=x^3[/mm] zwar ein Homöomorphismus, aber
> > kein Diffeomorphismus ist, da die Umkehrabbildung in 0
> > nicht differenzierbar ist.
> > Wie sieht das aus, wenn ich jetzt einen
> Homöomorphismus
> > von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] suche, der kein Diffeomorphismus ist.
> > Kann ich dann mein Beispiel einfach Komponentenweise
> > benutzen, also [mm]f(x,y)=(x^3, y^3)^T?[/mm] oder geht das nicht?
>
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> Sicher kannst Du das Beispiel komponentenweise betrachten.
Vielleicht habe ich mich hier unklar ausgedrückt. Meine Frage ist, ob dies wirklich ein Homöomorphismus ist, der kein Diffeomorphismus ist. Wenn ja, warum? Wie sieht denn die Umkehrabbildung aus?
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> > Mein Idee dabei ist, dass ich differenzierbarkeit bei
> > stetigen Funktionen ja komponentenweise prüfen kann.
> > Totaler quatsch?
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> Hmm, das geht nur komponentenweise, wenn f die Form
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> [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{g\left(x\right) \\ h\left(y\right)}[/mm]
>
> oder
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> [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{g\left(y\right) \\ h\left(x\right)}[/mm]
>
> hat.
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> Im allgemeinen Fall mußt Du die Jacobimatrix betrachten.
Ja gut, wenn ich die Ableitung bilden will, muss ich die Jacobimatrix bilden, das ist mir klar. Aber wenn ich nur untersuchen will, ob die Funktion differenzierbar ist, reicht es doch immer nur die einzelnen komponenten auf stetige Differenzierbarkeit zu überprüfen oder? Ich habe da sowas im kopf wie aus stetig partiell differenzierbar folgt total differenzierbar... nicht?!?
Jetzt habe ich aber das Problem mit der Umkehrfunktion, da stehe ich gerade auf dem Schlauch... Wie ist das da mit dem Komponentenweise? Muss ich irgendwas beachten, wenn ich Abbildungen von [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] habe?
Kannst du mir vielleicht mal ein oder zwei Beispiele zu Funktionen von [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] mit [mm] n,m\ge [/mm] 2 und deren Umkehrfunktionen aufschreiben? Das wäre echt super!!!
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> >
Grüße Ned.
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Hallo property_of_ned_flanders,
> Hallo MathePower,
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> > Hallo property_of_ned_flanders,
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> > > ich weiß, dass [mm]f(x)=x^3[/mm] zwar ein Homöomorphismus,
> aber
> > > kein Diffeomorphismus ist, da die Umkehrabbildung in 0
> > > nicht differenzierbar ist.
> > > Wie sieht das aus, wenn ich jetzt einen
> > Homöomorphismus
> > > von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] suche, der kein Diffeomorphismus ist.
> > > Kann ich dann mein Beispiel einfach Komponentenweise
> > > benutzen, also [mm]f(x,y)=(x^3, y^3)^T?[/mm] oder geht das nicht?
> >
> >
> > Sicher kannst Du das Beispiel komponentenweise betrachten.
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> Vielleicht habe ich mich hier unklar ausgedrückt. Meine
> Frage ist, ob dies wirklich ein Homöomorphismus ist, der
> kein Diffeomorphismus ist. Wenn ja, warum? Wie sieht denn
> die Umkehrabbildung aus?
Die Umkehrabbildung ist
[mm]g:\IR^{2} \to \IR^{2}, \pmat{x \\ y} \to \pmat{\operatorname{sgn}\left(x\right)*\wurzel[3]{\vmat{x}} \\ \operatorname{sgn}\left(y\right)*\wurzel[3]{\vmat{y}}}[/mm]
Diese ist in den Punkten [mm]\left(x,0\right)[/mm] und [mm]\left(0,y\right)[/mm] nicht differenzierbar.
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> > > Mein Idee dabei ist, dass ich differenzierbarkeit bei
> > > stetigen Funktionen ja komponentenweise prüfen kann.
> > > Totaler quatsch?
> >
> >
> > Hmm, das geht nur komponentenweise, wenn f die Form
> >
> > [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{g\left(x\right) \\ h\left(y\right)}[/mm]
>
> >
> > oder
> >
> > [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{g\left(y\right) \\ h\left(x\right)}[/mm]
>
> >
> > hat.
> >
> > Im allgemeinen Fall mußt Du die Jacobimatrix betrachten.
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>
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> Ja gut, wenn ich die Ableitung bilden will, muss ich die
> Jacobimatrix bilden, das ist mir klar. Aber wenn ich nur
> untersuchen will, ob die Funktion differenzierbar ist,
> reicht es doch immer nur die einzelnen komponenten auf
> stetige Differenzierbarkeit zu überprüfen oder? Ich habe
> da sowas im kopf wie aus stetig partiell differenzierbar
> folgt total differenzierbar... nicht?!?
> Jetzt habe ich aber das Problem mit der Umkehrfunktion, da
> stehe ich gerade auf dem Schlauch... Wie ist das da mit
> dem Komponentenweise? Muss ich irgendwas beachten, wenn ich
> Abbildungen von [mm]\IR^n \to \IR^n[/mm] habe?
>
> Kannst du mir vielleicht mal ein oder zwei Beispiele zu
> Funktionen von [mm]\IR^n \to \IR^m[/mm] mit [mm]n,m\ge[/mm] 2 und deren
> Umkehrfunktionen aufschreiben? Das wäre echt super!!!
Nun, da fällt mir z.B.
[mm]h:\IR^{2} \to \IR^{2}, \pmat{r \\ \varphi} \to \pmat{r*\cos\left(\varphi\right) \\ r*\sin\left(\varphi\right) }[/mm]
ein.
Diese ist umkehrbar eindeutig für [mm]0 < r, \ 0 < \varphi < 2\pi[/mm].
Zur expliziten Berechnung der Umkehrabbildung sind Fallunterscheidungen erforderlich.
> >
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> > >
> Grü ße Ned.
Gruß
MathePower
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Hi Mathepower,
danke für deine Hilfe.
Ich werde mir das jetzt alles noch mal ein bisschen angucken, bis ich das 100-%ig verstanden habe, aber du hast mir schon mächtig weiter geholfen. Danke!
Grüße Ned.
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