Homöomorphie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Es seien [mm]S^{n-1}[/mm] und [mm]D^{n}[/mm] dfolgende mit ihrer vom Euklidischen Raum [mm]\mathbb{E}^{n} = (\mathbb{R}^{n},d_{e})[/mm] induzierten Metrik versehenen Teilmengen des [mm]\mathbb{R}^{n}[/mm]:
[mm]S^{n-1} := \lbrace x \in \mathbb{R}^{n} \mid ||x|| = 1 \rbrace \subset \mathbb{R}^{n}[/mm]
[mm]D^{n} := \lbrace x \in \mathbb{R}^{n} \mid ||x|| < 1 \rbrace \subset \mathbb{R}^{n}[/mm]
Bezeichne weiter [mm]N := (0,...,0,1) \in S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}[/mm] den Nordpol von [mm]S^{n}[/mm].
Zeige, dass [mm]S^{n}\backslash \lbrace N \rbrace[/mm], [mm]\mathbb{R}^{n}[/mm] und [mm]D^{n}[/mm] paarweise homöomorph zueinander sind. |
Hallo Zusammen.
Ich versuche gerade, mich in die Topologie einzuarbeiten, hab bisher meinen Schwerpunkt auf algebraische Gebiete gelegt.
Nun habe ich bereits bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten. Um die Homöomorphie zu zeigen, müsste ich ja ne abbildugn [mm]f : X \to Y[/mm], wobei [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] jeweils eine der oben angegebenen Mengen ist, so dass [mm]f[/mm] topologisch gesehen stetig, sowie bijektiv ist. Gleichzeitig müsste dann auch [mm]f^{-1}[/mm] stetig sein.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Ich soll ja zuerst ein Mal das Urbild offener Mengen in [mm]Y[/mm] anschauen und zeigen, dass auch diese dann offen sind.. ja? Wie soll ich das machen? :D
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Fr 24.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal da rein:
http://www.matha.rwth-aachen.de/de/lehre/ss08/psana/Ausarbeitungen/Faber.pdf
FRED
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Hallo Fred
Danke mal für den Link.. ist relativ klar geschrieben :)
Aber trotzdem würde ich gerne viel allgemeiner meine Aufgabe lösen. In den letzten Seiten des ersten Kapitels definiert sie eine Funktion und zeigt dann, dass diese Funktion ein Homöomorphismus ist.. aber es geht (hoffentlich) doch auch, ohne die Funktion konkret zu nennen, oder nicht?
Also, es geht mir nicht darum, einen Homöomorphismus konkret zu finden, sondern zu zeigen, dass es einfach einen gibt. (Sonst kann ich das dann ausser in diesem Beispiel ja nicht weiter auf andere übertragen..)
Geht das irgendwie?
Ich bedanke mich schon mal.. :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 27.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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