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| Aufgabe 1 | | Zeige, dass [mm] SS^1 \cong S^2. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Generalisiere dein Ergebnis für [mm] SS^{n-1} \cong S^n. [/mm] |
Hallo! Ich hänge an obigen Aufgaben.
Wenn ich das jetzt richtig sehe, dann ist das eine der Mantel eines Doppelkegels und das andere eine Kugeloberfläche, richtig? Meine Idee ist nun, einen Punkt des Doppelkegels zu nehmen, die y- und z-Koordinate festzuhalten und die x-Koordinate so abzubilden, dass eine Kugel entsteht. Das sollte die Funktion
f: [mm] SS^1 \rightarrow S^2, \[[(x,y,z)] \mapsto \begin{cases}(-\sqrt{1-y^2-z^2},y,z)& x<0 \\ (\sqrt{1-y^2-z^2},y,z) & x \geq 0 \end{cases}
[/mm]
leisten, oder?
Und die "Generalisierung" der Geschichte wäre dann, dass man n+1 Koordinaten hat und folgende Abbildung nimmt:
g: [mm] SS^{n-1} \rightarrow S^n, [(x_1,x_2,...,x_{n+1})] \mapsto \begin{cases}(-\sqrt{1-\sum\limits_{k=2}^{n+1} x_k^2},x_2,...,x_{n+1})& x_1<0 \\ (\sqrt{1-\sum\limits_{k=2}^{n+1} x_k^2},x_2,...,x_{n+1}) & x_1 \geq 0 \end{cases}
[/mm]
Klappt das so?
Ich habe per Google eine Lösung im Buch "Topologie" von Erich Ossa gefunden:
http://img651.imageshack.us/img651/5117/unbenanntxib.png
Allerdings verstehe ich da nicht so recht, wie man darauf kommt bzw. was Sinus und Cosinus dort genau "tun". Kann das vielleicht jemand erklären?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1704738#post1704738
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 25.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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