Homöomorphismus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Di 10.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
ich glaub ich denke mal entweder zu kompliziert oder die Aufgabe ist wirklich so banal wie es aussieht:
Sei X ein kompakter metrischer Raum und [m]f: X \to Y[/m] eine bijektive stetige Abbildung auf einen metrischen Raum Y. Zeigen sie, daß f ein Homöomorphismus ist.
Ich muss also nur zeigen, dass [m]f^{-1}[/m] auch stetig ist!
So jetzt folgt doch aus der bijektivität, dass Y auch kompakt ist, und doch eigentlich auch direkt, dass [m]f^{-1}[/m] auch wieder stetig ist.
Ich habe probiert mit dem "kompakt" irgendwohin zu kommen das ist mir aber auch nicht gelungen. Außerdem selbst wenn meine Argumentation richtig ist so habe ich dann auch Probleme mit einer formelen Schreibweise weil die bei mir so nichtssagend ist(habe [mm] \varepsilon -\delta [/mm] - Kriterium benutzt).
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Di 10.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Philipp!
Wie kommst du darauf, dass $Y$ kompakt sein soll? Ist $X$ als kompakt vorausgesetzt?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 10.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
Sorry mein Fehler habs auch verbessert X ist kompakt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 10.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Philipp!
Es genügt zu zeigen, dass das Urbild [mm] $(f^{-1})^{-1}(A)$ [/mm] jeder abgeschlossenen Menge $A [mm] \subset [/mm] X$ unter [mm] $f^{-1}$ [/mm] wieder abgeschlossen ist (in $Y$).
Da $f$ bijektiv ist, gilt:
[mm] $(f^{-1})^{-1}(A) [/mm] = f(A)$.
Zu zeigen bleibt also: Ist $A$ abgeschlossen in $X$, so ist $f(A)$ abgeschlossen ist $Y$.
Nun ist aber $A$ als abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge $X$ selber kompakt und daher $f(A)$ ebenfalls (stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt). Da $Y$ als metrischer Raum ein Hausdorff-Raum ist, ist $f(A)$ dann aber auch abgeschlossen in $Y$ (kompakte Mengen sind in Hausdorff-Räumen abgeschlossen).
Daraus folgt die Behauptung. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 10.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin Stefan,
also doch so einfach wie es aussieht!
> Hallo Philipp!
>
> Es genügt zu zeigen, dass das Urbild [mm](f^{-1})^{-1}(A)[/mm] jeder
> abgeschlossenen Menge [mm]A \subset X[/mm] unter [mm]f^{-1}[/mm] wieder
> abgeschlossen ist (in [mm]Y[/mm]).
Das hatten wir auch und den Rest auch so in etwa haben uns aber dann gedacht, dass das nicht sein kann. Die anderen Aufgaben sind noch dagegen utopisch schwer. Wir sollen da in Ana II den Satz von Baire beweisen...
Naja danke für deine Antwort
Gruß Philipp
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