Homöomorphismus konstruieren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Mo 07.11.2011 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] $c(\mathbb [/mm] N)$ ein Banachraum ist und konstruiere einen linearen Homöomorphismus $T: [mm] c(\mathbb [/mm] N) [mm] \to c_0(\mathbb [/mm] N)$.
Bestimme [mm] $\left \| T \right \|_{c \to c_0}$ [/mm] und [mm] $\left \| T^{-1} \right \|_{c_0 \to c}$. [/mm] |
Hallo,
also nach Definition ist [mm] $c(\mathbb N)=\{x \in l_{\infty} : x(i) \text{ konvergiert für }i \to \infty \}$ [/mm] wobei [mm] $l_{\infty}$ [/mm] der Raum der beschränkten Folgen ist. Dass [mm] $c(\mathbb [/mm] N)$ ein Banachraum ist, konnte ich zeigen, indem ich bewies, dass [mm] $c(\mathbb [/mm] N)$ ein abgeschlossener Unterraum von [mm] $l_{\infty}$ [/mm] ist und da [mm] $l_{\infty}$ [/mm] selbst ein Banachraum ist, ist [mm] $c(\mathbb [/mm] N)$ vollständig und ebenso ein Banachraum.
Mit [mm] $c_0$ [/mm] ist der Raum der Nullfolgen, versehen mit der Supremumsnorm, gemeint.
Das $T$ muss nach Def. linear, stetig und bijektiv sein und eine stetige Umkehrabbildung besitzen und der Operator $T$ ordnet jeder beschränkten, konvergenten Folge eine Nullfolge zu.
Ich habe aber keine Idee, wie man so ein T konstruieren könnte.
Es wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
Vielen Dank im Voraus!
Gruß,
Kevin
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Hallo,
> Zeige, dass [mm]c(\mathbb N)[/mm] ein Banachraum ist und konstruiere
> einen linearen Homöomorphismus [mm]T: c(\mathbb N) \to c_0(\mathbb N)[/mm].
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> Bestimme [mm]\left \| T \right \|_{c \to c_0}[/mm] und [mm]\left \| T^{-1} \right \|_{c_0 \to c}[/mm].
>
> Hallo,
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> also nach Definition ist [mm]c(\mathbb N)=\{x \in l_{\infty} : x(i) \text{ konvergiert für }i \to \infty \}[/mm]
> wobei [mm]l_{\infty}[/mm] der Raum der beschränkten Folgen ist.
> Dass [mm]c(\mathbb N)[/mm] ein Banachraum ist, konnte ich zeigen,
> indem ich bewies, dass [mm]c(\mathbb N)[/mm] ein abgeschlossener
> Unterraum von [mm]l_{\infty}[/mm] ist und da [mm]l_{\infty}[/mm] selbst ein
> Banachraum ist, ist [mm]c(\mathbb N)[/mm] vollständig und ebenso
> ein Banachraum.
>
> Mit [mm]c_0[/mm] ist der Raum der Nullfolgen, versehen mit der
> Supremumsnorm, gemeint.
>
> Das [mm]T[/mm] muss nach Def. linear, stetig und bijektiv sein und
> eine stetige Umkehrabbildung besitzen und der Operator [mm]T[/mm]
> ordnet jeder beschränkten, konvergenten Folge eine
> Nullfolge zu.
>
> Ich habe aber keine Idee, wie man so ein T konstruieren
> könnte.
>
> Es wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
Nun ja, wie man diesen operator definiert, liegt eigentlich auf der Hand. Wenn Du eine folge [mm] x_i [/mm] hast, die gegen [mm] \overline{x} [/mm] konvergiert, welche folge konvergiert dann garantiert gegen 0?
Wie kann man sich aus dieser einsicht den gesuchten operator ableiten? Warum ist dieser linear?
Um die Norm dieses operators zu bestimmen, kannst Du zum Beispiel die Definition der Norm als supremum auf der einheitskugel verwenden.
gruss
Matthias
EDIT: Wie von fred97 richtig festfestellt, ist der von mir angedeutete Operator nicht injektiv, erlaubt also insbesondere auch keine Umkehrabbildung. Somit ist er wohl nicht der gesuchte Operator.
> Gruß,
> Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass [mm]c(\mathbb N)[/mm] ein Banachraum ist und konstruiere
> einen linearen Homöomorphismus [mm]T: c(\mathbb N) \to c_0(\mathbb N)[/mm].
>
> Bestimme [mm]\left \| T \right \|_{c \to c_0}[/mm] und [mm]\left \| T^{-1} \right \|_{c_0 \to c}[/mm].
>
> Hallo,
>
> also nach Definition ist [mm]c(\mathbb N)=\{x \in l_{\infty} : x(i) \text{ konvergiert für }i \to \infty \}[/mm]
> wobei [mm]l_{\infty}[/mm] der Raum der beschränkten Folgen ist.
> Dass [mm]c(\mathbb N)[/mm] ein Banachraum ist, konnte ich zeigen,
> indem ich bewies, dass [mm]c(\mathbb N)[/mm] ein abgeschlossener
> Unterraum von [mm]l_{\infty}[/mm] ist und da [mm]l_{\infty}[/mm] selbst ein
> Banachraum ist, ist [mm]c(\mathbb N)[/mm] vollständig und ebenso
> ein Banachraum.
>
> Mit [mm]c_0[/mm] ist der Raum der Nullfolgen, versehen mit der
> Supremumsnorm, gemeint.
>
> Das [mm]T[/mm] muss nach Def. linear, stetig und bijektiv sein und
> eine stetige Umkehrabbildung besitzen und der Operator [mm]T[/mm]
> ordnet jeder beschränkten, konvergenten Folge eine
> Nullfolge zu.
>
> Ich habe aber keine Idee, wie man so ein T konstruieren
> könnte.
>
> Es wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
Bei Deiner Frage ist es so: wenn man einen Tipp gibt, hat man eigentlich schon alles verraten. Nachdem Matthias Dir geantwortet hat und in seiner Antwort von einem "naheliegenden Operator" gesprochen hat, wirst Du vielleicht auf die Idee kommen:
$ [mm] T(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)= [mm] (x_1- lim~x_k, x_2- lim~x_k, x_3- lim~x_k, [/mm] ...).$
Dieser Operator tuts nicht, denn er ist nicht injektiv [mm] (Kern(T)=\{(c,c,c,,,): c \in \IR\} [/mm] )
Probiers mal hiermit:
$ [mm] T(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)= (lim [mm] ~x_k, x_1- lim~x_k, x_2- lim~x_k, x_3- lim~x_k, [/mm] ...).$
Jetzt hab ich Dir viel verraten, aber ich denke, dass es noch genug zu tun gibt: zeige:
T ist linear, T ist beschränkt und T ist bijektiv. Und das berechnen der Operatorennormen
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß,
> Kevin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Di 08.11.2011 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
danke für deinen Tipp.
Ich verstehe aber nicht, wieso der zuerst von dir genannte Operator nicht injektiv ist. Du schreibst dass der Kern dieses Operator aus allen Vektoren (c,c,c,...) mit c aus [mm] $\mathbb [/mm] R$ besteht.
Aber es ist doch
[mm] $T(c,c,c,\cdots [/mm] ) = (c- [mm] \mathrm{lim} (x_k),\ [/mm] c- [mm] \mathrm{lim} (x_k) [/mm] , c- [mm] \mathrm{lim} (x_k) [/mm] , ...) = (d,d,d,...)$ für ein gewisses $d [mm] \in \mathbb [/mm] R$ und $(d,d,d,...)$ ist keine Nullfolge, also nicht in [mm] $c_0 (\mathbb [/mm] N)$.
Wo liegt denn da mein Denkfehler?
Gruß.
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn [mm] x_n=c [/mm] für jedes n, so ist lim [mm] x_k=c, [/mm] also
d=c- lim [mm] x_k=0
[/mm]
FRED
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