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Hallo zusammen
Habe in meinem Buch folgende Vorgehensweise zum lösen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystem gefunden:
Gegeben: y'=Ay
1. Schritt: Bestimme alle EW [mm] \lambda_1,....\lambda_l [/mm] von A
2. Schritt: Bestimme zu jedem EW [mm] \lambda_j [/mm] eine Basis von EV [mm] v_{j1}^0,....,v_{jk_j}^{0} [/mm]
3. Schritt: Bestimme zu jedem EV [mm] v_{jk}^0 [/mm] die assoziierten Vektoren [mm] v_{jk}^1,...,v_{jk}^{m_{jk}}
[/mm]
4. Schritt: Zu jedem EV bilde dann die Funktionen:
[mm] y_{jk}^0(x)=v_{jk}^0e^{\lambda_jx}
[/mm]
....
[mm] y_{jk}^{m_{jk}}(x)=(v_{jk}^{m_{jk}}+v_{jk}^{m_{jk}-1}x+...+v_{jk}^0\bruch{x^{m_{jk}}}{m_{jk}!}) e^{\lambda_jx}
[/mm]
Leider verstehe ich nicht, was mit assoziierten Vektoren gemeint ist.
Wie berechne ich diese und was ist darunter zu verstehen?
Mit freundlichen Grüssen
Babybel
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Hallo Babybel73,
> Hallo zusammen
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> Habe in meinem Buch folgende Vorgehensweise zum lösen
> eines homogenen linearen Differentialgleichungssystem
> gefunden:
>
> Gegeben: y'=Ay
>
> 1. Schritt: Bestimme alle EW [mm]\lambda_1,....\lambda_l[/mm] von A
>
> 2. Schritt: Bestimme zu jedem EW [mm]\lambda_j[/mm] eine Basis von
> EV [mm]v_{j1}^0,....,v_{jk_j}^{0}[/mm]
> 3. Schritt: Bestimme zu jedem EV [mm]v_{jk}^0[/mm] die assoziierten
> Vektoren [mm]v_{jk}^1,...,v_{jk}^{m_{jk}}[/mm]
> 4. Schritt: Zu jedem EV bilde dann die Funktionen:
> [mm]y_{jk}^0(x)=v_{jk}^0e^{\lambda_jx}[/mm]
> ....
>
> [mm]y_{jk}^{m_{jk}}(x)=(v_{jk}^{m_{jk}}+v_{jk}^{m_{jk}-1}x+...+v_{jk}^0\bruch{x^{m_{jk}}}{m_{jk}!}) e^{\lambda_jx}[/mm]
>
> Leider verstehe ich nicht, was mit assoziierten Vektoren
> gemeint ist.
> Wie berechne ich diese und was ist darunter zu verstehen?
>
Gemäß der Vorgaben ist [mm]v_{jk}^{\alpha} \in \operatorname{Kern}\left(A-\lambda_{j}E\right)^{\alpha+1}[/mm]
Damit ergibt sich der Vektor [mm]v_{jk}^{\alpha}[/mm]
aus der Gleichung
[mm]\left(A-\lambda_{j}E\right)^{\alpha+1}v_{jk}^{\alpha}=0, \ \alpha \in \IN_{0}[/mm]
,wobei E die Einheitsmatrix ist.
Das kann jetzt noch vereinfacht werden:
[mm]\left(A-\lambda_{j}E\right)^{\alpha+1}v_{jk}^{\alpha}=0[/mm]
[mm]\gdw \left(A-\lambda_{j}E\right)^{\alpha}\underbrace{\left(A-\lambda_{j}E\right)v_{jk}{}^{\alpha}}_{v_{jk}{}^{\alpha-1}}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(A-\lambda_{j}E\right)v_{jk}{}^{\alpha}=v_{jk}{}^{\alpha-1}[/mm]
Gesucht ist demnach ein Vektor [mm]v_{jk}{}^{\alpha}[/mm],
der durch [mm]A-\lambda_{j}E[/mm] auf den Vektor [mm]v_{jk}{}^{\alpha-1}[/mm] abgebildet wird, [mm]\alpha \ge 1[/mm].
> Mit freundlichen Grüssen
> Babybel
Gruss
MathePower
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