Homogenes Gleichungssystem < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | gegeben sei das homogene Gleichungssystem Ax = 0 über dem Körper [mm] \IF_{3} [/mm] mit A := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 } \in (\IF_{3})^{3x3} [/mm] .
a) Bestimmen Sie dim(Kern((A)) und rang(A)
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems |
Beim Lösen des Gleichungssystems bekomme ich eine ganz andere Lösung als vorgegeben.
Mein Lösungsweg: Zeilenstufenform
Ausgangsmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 }
[/mm]
Erste Zeile mit -2 multipliziert und zu der zweiten addiert
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 }
[/mm]
Zweite Zeile mit -2 multipliziert und zu der dritten addiert
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 }
[/mm]
Somit ist der rang = 3.
Laut Lösung soll diese Matrix rauskommen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also unendlich viele Lösungen und der rang ist 2!
Aber wie kommt man auf diese Lösung?
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Hallo zoj,
> gegeben sei das homogene Gleichungssystem Ax = 0 über dem
> Körper [mm]\IF_{3}[/mm] mit A := [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 } \in (\IF_{3})^{3x3}[/mm]
> .
> a) Bestimmen Sie dim(Kern((A)) und rang(A)
> b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems
> Beim Lösen des Gleichungssystems bekomme ich eine ganz
> andere Lösung als vorgegeben.
>
> Mein Lösungsweg: Zeilenstufenform
>
> Ausgangsmatrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> Erste Zeile mit -2 multipliziert und zu der zweiten
> addiert
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> Zweite Zeile mit -2 multipliziert und zu der dritten
> addiert
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 }[/mm]
>
> Somit ist der rang = 3.
>
> Laut Lösung soll diese Matrix rauskommen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Also unendlich viele Lösungen und der rang ist 2!
>
> Aber wie kommt man auf diese Lösung?
Dein Rechenweg ist richtig.
Die Elemente der Matrix sind im Körper [mm]\IF_{3}[/mm] zu betrachten.
Dann kommt man auf diese Matrix.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zoj |
Was meint man mit Körper [mm] \IF_{3} [/mm] ?
Die gegebene Matrix hat doch bereits die Form 3x3.
Wo kann man darüber was nachlesen?
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Hallo zoj,
> Was meint man mit Körper [mm]\IF_{3}[/mm] ?
Es gibt hier nur die Elemente 0,1,2.
>
> Die gegebene Matrix hat doch bereits die Form 3x3.
>
> Wo kann man darüber was nachlesen?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Restklassenkörper
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zoj |
Ok, jetzt weiß ich was ein F3 Körper ist.
Auf die Aufgabe bozogen heißt es also, dass es in der Matrix keine Zahlen größer als 3 geben darf. Richtig?
Ich verstehe aber immer noch nicht, wie man auf die gewünschte Lösung kommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Um die Form, die als Lösung gegeben ist, zu erhalten, musst du alle Zahlen <0 oder >2 mod 3 rechnen. Also z.B. ist 3 mod 3=0. Oder auch anders betrachtet: Du addierst auf alle Zahlen <0 so lange 3 drauf, bis 0, 1 oder 2 rauskommt. Bei Zahlen >2 ziehst du so lange 3 ab, bis 0, 1 oder 2 rauskommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zoj |
Wow,
das kommt mit irgendwie bekannt vor. (Binärzahlen) :)
Bin jetzt auf die Lösung gekommen :)
Das heißt das [mm] \IF_{3} [/mm] gibt mir an, dass ich zur Basis 3 rechnen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, nicht zur Basis 3. [mm] \IF_3 [/mm] heißt, dass es nur 3 Zahlen gibt, nämlich 0, 1 und 2. Und dort ist auch 2+1=3=0, 2+2=4=1 etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zoj |
OK, danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
Eine Frage habe ich noch.
Die gewünschte Matrix habe ich rausbekommen:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
nun muss ich die Lösungsmenge bestimmen.
Kommt raus:
[mm] x_{3} [/mm] ist freie Variable
[mm] x_{2}=x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1}=2x_{3}
[/mm]
Demnach ist die Lösungsmenge:
[mm] \IL [/mm] ={ [mm] \vektor{2\\1\\1} [/mm] }
In der Musterlösung steht noch folgendes:
= { [mm] \vektor{0\\0\\0},\vektor{2\\1\\1},\vektor{1\\2\\2} [/mm] }
Wie kommt man denn auf diese Lösungsmegen?
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Hallo zoj,
> Eine Frage habe ich noch.
>
> Die gewünschte Matrix habe ich rausbekommen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nun muss ich die Lösungsmenge bestimmen.
>
> Kommt raus:
> [mm]x_{3}[/mm] ist freie Variable
> [mm]x_{2}=x_{3}[/mm]
> [mm]x_{1}=2x_{3}[/mm]
>
> Demnach ist die Lösungsmenge:
> [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={ [mm]\vektor{2\\
1\\
1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Das ist ein Lösungsvektor, er ist Basisvektor für den "Lösungsraum" (Lösungsmenge)
Also [mm]\mathbb{L}=\left\langle\vektor{2\\
1\\
1}\right\rangle_{\IZ_3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> In der Musterlösung steht noch folgendes:
> = { [mm]\vektor{0\\
0\\
0},\vektor{2\\
1\\
1},\vektor{1\\
2\\
2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Das ist der Lösungsraum ausgeschrieben, also alle Elemente des Lösungsraumes aufgelistet.
Das sind alle [mm]\IZ_3[/mm]-Vielfachen des Vektors [mm]\vektor{2\\
1\\
1}[/mm]
1) [mm]0\cdot{}\vektor{2\\
1\\
1}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
2) [mm]1\cdot{}\vektor{2\\
1\\
1}=\vektor{2\\
1\\
1}[/mm]
3) [mm]2\cdot{}\vektor{2\\
1\\
1}=\vektor{1\\
2\\
2}[/mm]
>
> Wie kommt man denn auf diese Lösungsmegen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
Achso! Danke für die schnelle Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
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